Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου

 Οι παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου

Η ιδιότητα των εσωτερικών διχοτόμων ενός τριγώνου να διέρχονται από το ίδιο σημείο ισχύει και όταν θεωρήσουμε δύο εξωτερικές και μία εσωτερική διχοτόμο του τριγώνου. Οι τρεις αυτές διχοτόμοι τέμνονται σε σημείο το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων. Ο κύκλος αυτός λέγεταιπερaγεγραμμένος και το κέντρο του περάκεντρο του τριγώνου. Σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν τρία παράκεντρα, τα οποία συμβολίζουμε Ια, Ιβ, Ιγ, και κατά συνέπεια τρεις παρεγγεγραμμένοι κύκλοι (σχ.17α,β). Οι διχοτόμοι δυο εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου και η ημιευθεία που διχοτομεί την τρίτη γωνία του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δυο άλλων. Απόδειξη

Ας θεωρήσουμε τις διχοτόμους Βx και Γy των δύο εξωτερικών γωνιών Β_εξ και Γ_εξαντίστοιχα, του τριγώνου ΑΒΓ. 

Οι Βx και Γy τέμνονται σε σημείο Iα, αφού ισχύει ότι:
xΒΓ + yΓΒ = Β_εξ + Γ_εξ2 = 2∟ - Β + Γ2 < 2∟.
Το Ι_α ισαπέχει από τη ΒΓ και την προέκταση της ΑΒ, καθώς και από την προέκταση της ΑΓ. Επομένως ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας A, αφού ισαπέχει από τις πλευρές της.
Από το βιβλίο της Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου.