Προετοιμασία για τους μαθηματικούς διαγωνισμούς της Ε.Μ.Ε: 15ο ΤΕΣΤ Εξάσκησης (μεγάλοι, άνω των 15,5 ετών)

ΘΕΜΑ 1

Έστω μία συνάρτηση  Να δείξετε, ότι οι πιο κάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες:

 

και

  

Bonus: 

Βρείτε όλες τις συναρτήσεις  για τις οποίες

  

ΘΕΜΑ 2

Για όλους τους θετικούς ακεραίους  να δείξετε ότι:

ΘΕΜΑ 3

Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο  με . Τα σημεία  και  είναι τα ίχνη των υψών από τις κορυφές  και , αντίστοιχα. Η ευθεία που εφάπτεται στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου  στο  τέμνει την  στο . Η ευθεία που είναι παράλληλη στην  και διέρχεται από το  τέμνει την  στο . Να αποδείξετε ότι η  είναι κάθετη στη διάμεσο από το  του τριγώνου .

ΘΕΜΑ 4

Προσδιορίστε αν είναι δυνατό να διατάξουμε τους αριθμούς  έτσι ώστε να υπάρχουν  αριθμοί μεταξύ δύο , όταν

i) 

ii) 

iii) 

(Για παράδειγμα, για ,  είναι μια τέτοια διάταξη.)

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica