Ιδιότητα Darboux για την παράγωγο

Ορισμός 

Λέμε ότι μια συνάρτηση $f : I → R$ έχει την ιδιότητα Darboux (ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής) αν: για κάθε $x < y$ στο $I$ με $f(x)\neq f(y)$ και για κάθε πραγματικό αριθμό ρ ανάμεσα στους $f(x)$ και $f(y)$ μπορούμε να βρούμε $z ∈ (x, y)$ ώστε 

$f(z) = ρ$. 

Από το Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής έπεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση $f : I → R$ έχει την ιδιότητα Darboux. 

Θα δείξουμε ότι η παράγωγος μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης έχει πάντα την ιδιότητα Darboux (αν και δεν είναι πάντα συνεχής συνάρτηση). 

Θεώρημα

Έστω $f : (a, b) → R$ παραγωγίσιμη συνάρτηση. Τότε, η $f'$ έχει την ιδιότητα Darboux.

Απόδειξη

Εστω $x < y ∈ (a, b)$ με $f'(x)\neq f (y)$. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι $f' (x) < f' (y)$. 

Υποθέτουμε ότι $f'(x) <ρ< f'(y)$ και θα βρούμε $z ∈ (x, y)$ ώστε $f'(z) = ρ$. Θεωρούμε τη συνάρτηση $g: (a, b) → R$ που ορίζεται από την 

$g(t) = f(t) − ρt$. 

Τότε, η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $(a, b)$ και 

$g' (t) = f' (t) − ρ$. 

Άρα, έχουμε $g' (x) < 0 < g'(y)$ και ζητάμε $z ∈ (x, y)$ με την ιδιότητα 

$g '(z) = 0$.

Ισχυρισμός: Υπάρχουν $x_1, y_1 ∈ (x, y)$ ώστε $g(x_1) < g(x)$ και $g(y_1) < g(y)$. (Η απόδειξη παραλείπεται).

Συνέχεια της απόδειξης του Θεωρήματος 

Η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $(a, b)$, άρα συνεχής στο $[x, y]$. Επομένως, η $g$ παίρνει ελάχιστη τιμή στο $[x, y]$: 

υπάρχει $x_0 ∈ [x, y]$ με την ιδιότητα $g(x_0) ≤ g(t)$ για κάθε $t ∈ [x, y]$.

Από τον Ισχυρισμό βλέπουμε ότι η $g$ δεν παίρνει ελάχιστη τιμή στο $x$ ούτε στο $y$.

Άρα, $x_0 ∈ (x, y)$. Αφού η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$, το Θεώρημα Fermat μας εξασφαλίζει ότι $g ' (x_0)$ = 0. 

Έπεται το ζητούμενο, με $z = x_0$.