Προετοιμάζομαι για Πανελλαδικές Εξετάσεις: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ΄ Λυκείου | ΘΕΜΑ $Δ_{17}$

ΑΣΚΗΣΗ 17

Δίνεται η συνάρτηση

  , .

Δ1) Να αποδείξετε ότι ισχύει:

  όπου , .

Δ2) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα και γνησίως αύξουσα στο διάστημα και στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο τιμών της.

Δ3) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα .

Δ4) Να αποδείξετε ότι η μοναδική ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f είναι η κατακόρυφη ευθεία με εξίσωση .

Δ5) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο ανοικτό διάστημα .

Δ6) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή παράγωγο για τις οποίες ισχύουν:

• 
• για κάθε

Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: