Σάββατο 29 Μαρτίου 2025

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [8]

Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, για την οποία ισχύουν: 
  • $f(1) = 0$ 
  • $x^2 f'(x) + 1 = 4 \int_1^e f(x) \, dx - xf(x)$, για κάθε $x > 0$. 
α) Να αποδείξετε ότι 
$f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$
για κάθε $x > 0$. 
β) Να αποδείξετε ότι 
$f(x) \le x - 1$
για κάθε $x > 0$. 
γ) Να αποδείξετε ότι 
$\int_0^1 \dfrac{(2x+3)-x}{e^x} \, dx < 3 - \dfrac{4}{e}$. 
δ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις $C_f$ και $C_g$ των συναρτήσεων $f$ και $g(x) = -x^2$ αντιστοίχως έχουν μια τουλάχιστον κοινή εφαπτομένη.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου