Τι δεν πρόσεξε ο Ναπολέων ο Βοναπάρτης;

Ένα από τα πιο κομψά θεωρήματα της γεωμετρίας συνδέεται με τον Ναπολέοντα Βοναπάρτη. Αν και δεν είναι βέβαιο ότι ο ίδιος το απέδειξε, το θεώρημα που φέρει το όνομά του συνεχίζει να μαγεύει γεωμέτρες και μαθηματικούς για την ομορφιά του. Παρακάτω παρουσιάζουμε μια διατύπωση με μικρές ανατροπές και... εκπλήξεις!

---

✨ Το Πρόβλημα

(α) Κατασκευάζουμε τρία ισόπλευρα τρίγωνα εξωτερικά ενός τυχαίου τριγώνου $ABC$:

• Τρίγωνο $ABC_1$ πάνω στην πλευρά $AB$
  

• Τρίγωνο $BCA_1$ πάνω στην πλευρά $BC$
  

• Τρίγωνο $CAB_1$ πάνω στην πλευρά $CA$
  

Ονομάζουμε:

• $C_2$, το μέσο του $A_1B_1$

• $A_2$, το μέσο του $B_1C_1$

• $B_2$, το μέσο του $C_1A_1$

👉 Αποδείξτε ότι οι ευθείες $AA_2$, $BB_2$, και $CC_2$ διέρχονται από το ίδιο σημείο ή είναι παράλληλες.

---

(β) Τώρα αντικαθιστούμε τα ισόπλευρα τρίγωνα με όμοια ισοσκελή τρίγωνα (ίδιου σχήματος αλλά όχι απαραίτητα ίδιου μεγέθους):

• Τρίγωνο $ABC_1$ με βάση την πλευρά $AB$
  

• Τρίγωνο $BCA_1$ με βάση την πλευρά $BC$
  

• Τρίγωνο $CAB_1$ με βάση την πλευρά $CA$
  

👉 Αποδείξτε ότι και πάλι οι ευθείες $AA_2$, $BB_2$, και $CC_2$ συναντώνται στο ίδιο σημείο ή είναι παράλληλες.

---

🧠 Ιστορική Σημείωση

Το γνωστό Θεώρημα του Ναπολέοντα λέει πως αν κατασκευάσουμε εξωτερικά ισόπλευρα τρίγωνα στις πλευρές ενός τριγώνου, τότε τα κέντρα των τριών αυτών τριγώνων σχηματίζουν επίσης ένα ισόπλευρο τρίγωνο. 

Στη διατύπωση του παραπάνω προβλήματος, πηγαίνουμε ένα βήμα παραπέρα — εξετάζοντας τη γεωμετρική συμπεριφορά συγκεκριμένων ευθειών που συνδέουν κορυφές και μέσα ευθυγράμμων τμημάτων.