Γεωμετρία στο Διάστημα: Υπολογισμός Απόστασης από Σημείο σε Επίπεδο

Ερώτηση:

Ποια είναι η απόσταση από το σημείο $(a, b, c)$ σε ένα επίπεδο με εξίσωση $Ax + By + Cz + D = 0$;

Γρήγορος Τρόπος Υπολογισμού

Αν γνωρίζετε την ανισότητα του Cauchy (ή ανισότητα Cauchy-Schwarz):

$$(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2,$$

μπορείτε εύκολα να βρείτε το αποτέλεσμα.

---

Λύση

Η απόσταση $d$ από το σημείο $(a,b,c)$ σε ένα σημείο $(x,y,z)$ που ανήκει στο επίπεδο $Ax + By + Cz + D = 0$ δίνεται από:

$$d = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2}.$$

Θέλουμε να βρούμε τη μικρότερη απόσταση, δηλαδή το ελάχιστο του $d$.

Με βάση την ανισότητα του Cauchy:

$$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \geq |A(x - a) + B(y - b) + C(z - c)|.$$

Άρα το ελάχιστο $d$ είναι:

$$\min d = \frac{|A(x - a) + B(y - b) + C(z - c)|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.$$

Επειδή το σημείο $(x,y,z)$ ανήκει στο επίπεδο, ισχύει:

$$Ax + By + Cz + D = 0,$$

οπότε:

$$A(x - a) + B(y - b) + C(z - c) = - (Aa + Bb + Cc + D).$$

Έτσι, η απόσταση από το σημείο $(a,b,c)$ στο επίπεδο $Ax + By + Cz + D = 0$ είναι:

$$\boxed{{\displaystyle d=\frac{\mathrm{\mid }Aa+Bb+Cc+D\mathrm{\mid }}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\mathrm{.}}}$$

---

Με αυτόν τον τρόπο, υπολογίζουμε εύκολα την απόσταση σημείου προς επίπεδο!