Θα σταματήσει ποτέ αυτό το σκίτσο; Η απρόσμενη σύγκλιση μιας γεωμετρικής ακολουθίας!

Ας υποθέσουμε ότι βρίσκεστε σε μια βαρετή συνάντηση και αρχίζετε να σχεδιάζετε για να περάσει η ώρα. Σχεδιάζετε έναν κύκλο. Μετά, σχεδιάζετε ένα κανονικό τρίγωνο που τον περιγράφει εξωτερικά.

Στη συνέχεια, σχεδιάζετε έναν νέο κύκλο που περνά από τις κορυφές του τριγώνου. Έπειτα, σχεδιάζετε ένα τετράγωνο που περιγράφει αυτόν τον κύκλο. Κατόπιν, έναν κύκλο που περνά από τις κορυφές του τετραγώνου. Και ένα κανονικό πεντάγωνο που περιγράφει τον νέο κύκλο.

Και συνεχίζετε...

Μια ερώτηση σάς έρχεται στο μυαλό:

«Θα σταματήσει ποτέ αυτό;!»

🔍 Μαθηματική Διατύπωση

Σε κάθε βήμα, ένα κανονικό n-γωνο περιγράφει εξωτερικά έναν κύκλο ακτίνας \( r \), και δημιουργούμε νέο κύκλο που διέρχεται από τις κορυφές του. Η ακτίνα του νέου κύκλου είναι:

\( \displaystyle r_{\text{νέο}} = \frac{r}{\cos(\pi/n)} \)

Αν ξεκινήσουμε με έναν μοναδιαίο κύκλο (\( r = 1 \)), τότε η συνολική ακτίνα μετά από \( N \) βήματα είναι:

\( \displaystyle R_N = \prod_{n=3}^{N} \frac{1}{\cos(\pi/n)} \)

Το όριο αυτής της ακολουθίας καθώς το \( N \to \infty \) είναι γνωστό ως:

• Πολυγωνική Περιγεγραμμένη Σταθερά (Polygon Circumscribing Constant)

Η τιμή του ορίου:

\( \displaystyle \lim_{N \to \infty} R_N \approx 8.7000366252\ldots \)

🌀 Επομένως;

Η διαδικασία δεν μεγαλώνει επ’ άπειρον — συγκλίνει σε έναν κύκλο πεπερασμένης ακτίνας περίπου 8.7. Μπορείτε να συνεχίσετε για πάντα, αλλά δεν θα φτάσετε ποτέ στο άπειρο!

📐 Οπτικοποίηση

Αν αγνοήσουμε τους κύκλους και σχεδιάσουμε μόνο τα πολύγωνα μέχρι κάποιο \( N \), βλέπουμε πώς «σταθεροποιούνται» γύρω από έναν νοητό κύκλο. Δείτε το παράδειγμα για \( N = 30 \):

Το αντίστροφο αυτής της σταθεράς:

\( \displaystyle \prod_{n=3}^{\infty} \cos(\pi/n) \approx 0.1149420448\ldots \)

ονομάζεται Σταθερά Kepler–Bouwkamp και εμφανίζεται επίσης σε άλλες γεωμετρικές ακολουθίες, π.χ. σε διαδοχικά εγγεγραμμένα πολύγωνα μέσα σε κύκλους.

---

📎 Μπορεί μια βαρετή στιγμή να οδηγήσει σε ένα υπέροχο μαθηματικό ταξίδι; Μάλλον ναι.

🧠 Θέλετε περισσότερα τέτοια παράδοξα και εκπλήξεις; Δείτε καθημερινά νέα θέματα στο Challenging Recreational Mathematics – Your Daily Experience of Math Adventures!