EisatoponAI: Η Πυραμίδα του Πασκάλ: Το Τρίγωνο του Πασκάλ σε Τρεις Διαστάσεις

Η πυραμίδα του Πασκάλ είναι η τρισδιάστατη γενίκευση του τριγώνου του Πασκάλ. Αντί κάθε αριθμός να είναι το άθροισμα δύο αριθμών όπως στο τρίγωνο, στην πυραμίδα κάθε αριθμός είναι το άθροισμα τριών αριθμών από το προηγούμενο (ανώτερο) επίπεδο.

🔺 Τρίγωνο του Πασκάλ (2D)

Κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αριθμών ακριβώς από πάνω:

Το στοιχείο στη γραμμή n και θέση k είναι:

(\binom{n}{k})

🔺 Πυραμίδα του Πασκάλ (3D)

Πρόκειται για μια τετραεδρική διάταξη αριθμών (σαν τετραγωνική πυραμίδα), όπου κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των τριών αριθμών από την προηγούμενη βαθμίδα που βρίσκονται γύρω του. Μπορούμε να το θεωρήσουμε ως έναν τριδιάστατο πίνακα $T(n, k, l)$ , όπου ισχύει:

T(n, k, l) = \binom{n}{k, l, n-k-l}

Αυτοί είναι οι τριπλοί συντελεστές του Νεύτωνα (ή τριδιωνυμικοί συντελεστές), γενίκευση του δυαδικού συντελεστή (του $\binom{n}{k}$ .

🔢 Παράδειγμα τιμών

Στο επίπεδο $n = 0$ :

$\binom{0}{0,0,0} = 1$

Στο επίπεδο $n = 1$ :

$\binom{1}{1,0,0} = 1$
$\binom{1}{0,1,0} = 1$
$\binom{1}{0,0,1} = 1$

Στο επίπεδο $n = 2$ :

$\binom{2}{2,0,0} = 1$
$\binom{2}{1,1,0} = 2$
$\binom{2}{1,0,1} = 2$
$\binom{2}{0,2,0} = 1$
$\binom{2}{0,1,1} = 2$
$\binom{2}{0,0,2} = 1$

📐 Γεωμετρική αναπαράσταση

Στην πράξη, μπορείς να σκεφτείς την πυραμίδα του Πασκάλ σαν τετραεδρικές στρώσεις με αυξανόμενο αριθμό στοιχείων σε κάθε επίπεδο, όπου κάθε τιμή εξαρτάται από τις τρεις που βρίσκονται στη βάση της.