📌 Τι είναι το Σημείο Καμπής σε μια Καμπύλη;

Σημείο Καμπής: Ορισμός και Βασικές Ιδιότητες στη Συνέχεια μιας Συνάρτησης

---

📖 1. Ορισμός

Ένα σημείο καμπής (ή σημείο καμπής της καμπυλότητας) μιας συνάρτησης $f(x)$ είναι ένα σημείο $(x_0, f(x_0))$ στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης αλλάζει καμπυλότητα — δηλαδή αλλάζει από κυρτή (καμπύλη προς τα πάνω) σε κοίλη (καμπύλη προς τα κάτω), ή το αντίστροφο, καθώς το $x$ περνά από το $x_0​$.

---

📌 2. Συνέχεια της Συνάρτησης

Για να είναι ένα σημείο $(x_0, f(x_0))$ σημείο καμπής, απαραίτητη προϋπόθεση είναι η συνέχεια της συνάρτησης στο σημείο αυτό.

🔺 Δηλαδή:

Αν το σημείο δεν είναι σημείο συνέχειας (π.χ. υπάρχει ασυνέχεια ή ασυμπτωτική συμπεριφορά), τότε δεν μπορεί να θεωρηθεί σημείο καμπής.

---

🧠 Παρατηρήσεις:

• Το σημείο καμπής δεν ταυτίζεται απαραίτητα με ακρότατο. Μπορεί η συνάρτηση να μην έχει τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο εκεί.

• Αν η δεύτερη παράγωγος $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)$ υπάρχει, τότε σημείο καμπής είναι συχνά σημείο στο οποίο $f''(x_0) = 0$ και αλλάζει πρόσημο γύρω από το $x_0$.