📐 Η Ανισότητα του Αρίσταρχου

Η Ανισότητα του Αρίσταρχου (από τον αρχαίο Έλληνα αστρονόμο και μαθηματικό Αρίσταρχο τον Σάμιο, περ. 310 – περ. 230 π.Χ.) είναι μια όμορφη και λιγότερο γνωστή ανισότητα της τριγωνομετρίας.

---

🧮 Διατύπωση

Αν οι γωνίες $\alpha$ και $\beta$ είναι οξείες (δηλαδή μεταξύ $0$ και $\frac{\pi}{2}$), και ισχύει ότι $\beta < \alpha$, τότε:

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} < \frac{\alpha}{\beta} < \frac{\tan \alpha}{\tan \beta}$$📌 Ερμηνεία

Αυτό σημαίνει ότι ο λόγος των γωνιών $\frac{\alpha}{\beta}$ βρίσκεται ανάμεσα στο λόγο των ημιτόνων τους και στο λόγο των εφαπτομένων τους.

• Καθώς μια γωνία αυξάνεται, τόσο το ημίτονο όσο και η εφαπτομένη αυξάνονται — αλλά με διαφορετικό ρυθμό.

• Η ανισότητα του Αρίσταρχου αποτυπώνει ποσοτικά αυτή τη διαφορά.

---

📚 Ιστορικό Πλαίσιο

• Ο Αρίσταρχος είναι κυρίως γνωστός για την ηλιοκεντρική θεωρία του, αλλά συνέβαλε επίσης στην πρώιμη τριγωνομετρία.

• Ο Πτολεμαίος χρησιμοποίησε το πρώτο μέρος της ανισότητας $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} < \frac{\alpha}{\beta}$ κατά την κατασκευή του πίνακα των χορδών, πρόδρομο των σημερινών πινάκων τριγωνομετρικών αριθμών.

---

🧠 Γιατί Ισχύει; 

• Η συνάρτηση $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα $(0, \frac{\pi}{2})$.

• Η συνάρτηση $g(x) = \frac{\tan x}{x}$ είναι γνήσια αύξουσα στο ίδιο διάστημα.

Αν $\beta < \alpha$, τότε:

$$\frac{\sin \alpha}{\alpha} < \frac{\sin \beta}{\beta} \quad \Rightarrow \quad \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} < \frac{\alpha}{\beta}$$

και

$$\frac{\tan \alpha }{\alpha }>\frac{\tan \beta }{\beta }\Rightarrow \frac{\alpha }{\beta }<\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }$$