Απόδειξη ότι lim(sin x / x) = 1 – Η Κλασική Γεωμετρική Προσέγγιση

 

Το Κλασικό Όριο: \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

\[ \text{Area}(\triangle OCA) \leq \text{Area}(\text{sector } OCB) \leq \text{Area}(\triangle ODB) \] \[ \frac{1}{2}\cos x \sin x \leq \frac{x}{2\pi} \cdot (\pi \cdot 1^2) \leq \frac{1}{2}\tan x \]

\[ \cos x \sin x \leq x \leq \tan x \] \[ \cos x \sin x \leq x \leq \frac{\sin x}{\cos x} \]

\[ \cos x \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x} \] \[ \frac{1}{\cos x} \geq \frac{\sin x}{x} \geq \cos x \]

\[ 1 \geq \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \geq 1 \]

\[ \boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1} \]

💡 Μια απόδειξη που ενώνει αρμονικά Γεωμετρία και Ανάλυση.

P

Εκπαίδευση

Όλα τα εκπαιδευτικά sites, μαζεμένα

Wikipedia, YouTube, Khan Academy — ένα κλικ μακριά

Δοκίμασέ το δωρεάν →