🧩 Κατασκευές με τα Ψηφία 1, 2 και 3 — Πόσο Λίγα Χρειάζονται;

Αριθμητικές κατασκευές · Βελτιστοποίηση · Δυνάμεις

🧩 Τι Μπορείτε να Χτίσετε με τα 1, 2 και 3;

Τέσσερις αριθμοί — όσο το δυνατόν λιγότερα ψηφία

📌 Οι κανόνες

Επιτρέπονται μόνο τα ψηφία \(1,2,3\), όσες φορές χρειάζονται, μαζί με τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και ύψωσης σε δύναμη. Επιτρέπονται φυσικά παρενθέσεις.

Δεν επιτρέπεται η συνένωση ψηφίων: δεν μπορούμε, για παράδειγμα, να γράψουμε απευθείας το \(12\), το \(23\) ή το \(123\).

Αν \(f(n)\) είναι το μικρότερο πλήθος επιτρεπόμενων ψηφίων που απαιτείται για την αναπαράσταση του \(n\), ζητούμε να υπολογίσουμε τα

\[f(40),\qquad f(61),\qquad f(263),\qquad f(500).\]

🔍 Το παράδειγμα του 121 βελτιώνεται

Το screenshot προτείνει

\[121=\left(2^{2+1}+3\right)^2,\]

που χρησιμοποιεί πέντε ψηφία. Δεν είναι όμως βέλτιστο, διότι

\[121=(2+3^2)^2.\]

Η νέα παράσταση χρησιμοποιεί μόνο τέσσερα ψηφία. Άρα \(f(121)\le4\), και εξαντλητικός έλεγχος δείχνει ότι πράγματι \(f(121)=4\).

🎯 Η πρόκληση

Κατασκευάστε τους αριθμούς

40  •  61  •  263  •  500

χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν λιγότερα ψηφία \(1,2,3\).

🔐 Οι βέλτιστες κατασκευές

Για το 40:

\[40=(2+3)\cdot2^3.\]

Χρησιμοποιούνται τέσσερα ψηφία, άρα \(f(40)=4\).

Για το 61:

\[61=2^{,2\cdot3}-3.\]

Και εδώ χρησιμοποιούνται τέσσερα ψηφία, άρα \(f(61)=4\).

Για το 263:

\[263=2^{,2^3}+3+3+1.\]

Χρησιμοποιούνται έξι ψηφία, άρα \(f(263)=6\).

Για το 500:

\[500=2\cdot2\cdot(2+3)^3.\]

Χρησιμοποιούνται πέντε ψηφία, άρα \(f(500)=5\).

🧠 Γιατί οι λύσεις είναι ελάχιστες;

Η εύρεση μιας παράστασης δίνει μόνο άνω φράγμα. Για να αποδείξουμε, για παράδειγμα, ότι \(f(263)=6\), πρέπει να αποκλείσουμε κάθε δυνατή παράσταση με πέντε ή λιγότερα ψηφία.

Αυτό γίνεται συστηματικά με δυναμικό προγραμματισμό. Ξεκινάμε από τα σύνολα

\[S_1=\{1,2,3\},\]

και κατασκευάζουμε το \(S_m\), το σύνολο όλων των ακεραίων που σχηματίζονται με ακριβώς \(m\) ψηφία. Για κάθε διάσπαση \(m=i+j\), συνδυάζουμε κάθε \(a\in S_i\) και \(b\in S_j\) μέσω των επιτρεπόμενων πράξεων.

Ο εξαντλητικός αυτός έλεγχος βρίσκει για πρώτη φορά τους \(40,61,500,263\) στα επίπεδα \(4,4,5,6\), αντίστοιχα. Έτσι δεν έχουμε απλώς σύντομες λύσεις, αλλά βέλτιστες.

✅ Τελική απάντηση

\[f(40)=4,\qquad f(61)=4,\qquad f(263)=6,\qquad f(500)=5.\]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →