🔺 Όταν οι Γωνίες ενός Τριγώνου Δεν Έχουν Άθροισμα 180°

Στην Ευκλείδεια γεωμετρία μαθαίνουμε από νωρίς ότι οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα \(180^\circ\).

Αλλά αυτό δεν είναι μια παγκόσμια αλήθεια για κάθε δυνατή γεωμετρία.

Σε έναν χώρο σταθερής αρνητικής καμπυλότητας, δηλαδή στην υπερβολική γεωμετρία, αν οι γωνίες ενός γεωδαισιακού τριγώνου είναι \(\alpha,\beta,\gamma\), τότε

\[ \Sigma=\alpha+\beta+\gamma<\pi. \]

Και συμβαίνει κάτι ακόμη πιο εντυπωσιακό: το ποσό που «λείπει» από τις \(180^\circ\) συνδέεται άμεσα με το εμβαδόν του τριγώνου.

Για καμπυλότητα

\[ K=-\frac{1}{R^2}, \]

ισχύει

\[ \boxed{A=R^2\left(\pi-\Sigma\right)}. \]

🔎 Το παράξενο συμπέρασμα:

Όσο μεγαλύτερο είναι το υπερβολικό τρίγωνο, τόσο μεγαλύτερο μπορεί να γίνει το γωνιακό του έλλειμμα. Σε αντίθεση λοιπόν με την Ευκλείδεια γεωμετρία, οι γωνίες ενός τριγώνου περιέχουν πληροφορία ακόμη και για το εμβαδόν του.

Στις αρχές του 19ου αιώνα ο Nikolai Lobachevsky τόλμησε να εξετάσει τι συμβαίνει αν εγκαταλείψουμε το περίφημο πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη. Παρουσίασε τις ιδέες του το 1826 και το 1829 δημοσίευσε την πρώτη έντυπη πραγματεία μη Ευκλείδειας γεωμετρίας.

Στη νέα αυτή γεωμετρία, από ένα σημείο έξω από μια δεδομένη ευθεία περνούν άπειρες ευθείες που δεν την τέμνουν.

Η μεταγενέστερη κατασκευή συγκεκριμένων μοντέλων της υπερβολικής γεωμετρίας —ιδιαίτερα από τον Eugenio Beltrami το 1868— έδωσε την αυστηρή βάση για τη σχετική συνέπειά της και έδειξε ότι το αξίωμα των παραλλήλων δεν προκύπτει από τα υπόλοιπα αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας.

🌀 Στον δίσκο του Poincaré οι «ευθείες» αυτής της γεωμετρίας εμφανίζονται ως τόξα κύκλων που συναντούν κάθετα το σύνορο του δίσκου — με τις διαμέτρους να αποτελούν ειδική περίπτωση.

Έτσι, μια πρόταση που στο σχολείο φαίνεται αυτονόητη — «οι γωνίες κάθε τριγώνου έχουν άθροισμα \(180^\circ\)» — αποδεικνύεται ότι δεν αφορά απλώς τα τρίγωνα.

Μας λέει κάτι για την ίδια τη γεωμετρία του χώρου.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →