🔺Το τρίγωνο των Πρώτων — Ένα μοτίβο που σπάει στο όγδοο βήμα

Ξεκινάμε από το 31 και, σε κάθε βήμα, προσθέτουμε ένα ακόμη ψηφίο 3 στα αριστερά:

31
331
3331
33331
333331
3333331
33333331

Και οι επτά αυτοί αριθμοί είναι πρώτοι. Η εικόνα είναι τόσο πειστική, ώστε εύκολα γεννιέται η εικασία ότι κάθε αριθμός αυτής της μορφής θα είναι πρώτος. Ο αμέσως επόμενος όρος, όμως, καταρρίπτει την εικασία:

\[333\,333\,331=17\times19\,607\,843.\]

Άρα ο αριθμός \(333\,333\,331\) δεν είναι πρώτος αλλά σύνθετος.

🔢 Ο γενικός όρος

Αν \(a_n\) είναι ο αριθμός που αποτελείται από \(n\) ψηφία 3 και τελειώνει σε 1, τότε:

\[a_n=3(10+10^2+\cdots+10^n)+1=\frac{10^{n+1}-7}{3}.\]

Για \(n=1,2,\ldots,7\) παίρνουμε πρώτους αριθμούς. Για \(n=8\), όμως, παίρνουμε τον σύνθετο αριθμό της παραπάνω παραγοντοποίησης.

Γιατί η παραγοντοποίηση αρκεί ως διάψευση;

Μια καθολική πρόταση της μορφής «όλοι οι αριθμοί αυτού του τύπου είναι πρώτοι» καταρρίπτεται από ένα μόνο αντιπαράδειγμα. Εδώ το αντιπαράδειγμα είναι το \(a_8\), αφού:

\[a_8=333\,333\,331=17\times19\,607\,843.\]

Και οι δύο παράγοντες είναι μεγαλύτεροι από 1, επομένως το \(a_8\) είναι σύνθετο.

Το ουσιαστικό μάθημα: Όσα παραδείγματα κι αν επιβεβαιώνουν έναν κανόνα, δεν αποτελούν απόδειξη ότι ο κανόνας ισχύει πάντοτε. Στα μαθηματικά, ένα όμορφο μοτίβο γεννά μια εικασία· η απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα αποφασίζει την αλήθεια της.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →