🌊 Κυματιστοί πρώτοι: όταν τα ψηφία ανεβοκατεβαίνουν

🌊 Κυματιστοί Πρώτοι Αριθμοί

Οι αριθμοί \(727\), \(18181\) και \(72727\) έχουν κάτι κοινό: σχηματίζονται από δύο διαφορετικά ψηφία που εναλλάσσονται. Όταν ένας τέτοιος αριθμός είναι και πρώτος, έχουμε ένα ιδιαίτερα όμορφο είδος πρώτου αριθμού: έναν κυματιστό πρώτο.

Στη βιβλιογραφία ο όρος undulating number χρησιμοποιείται και με ευρύτερη έννοια για αριθμούς των οποίων τα ψηφία ανεβαίνουν και κατεβαίνουν διαδοχικά. Εδώ μας ενδιαφέρει η αυστηρότερη μορφή, όπου δύο ψηφία \(A\) και \(B\) εναλλάσσονται:

\[ \boxed{ABABAB\ldots ABA,\qquad A\ne B} \]

Μερικά πρώτα παραδείγματα

\[ 727,\quad18181,\quad32323,\quad35353,\quad72727,\quad74747,\quad78787,\ldots \]

Παρατηρούμε ότι οι μη τετριμμένοι κυματιστοί πρώτοι έχουν περιττό πλήθος ψηφίων. Αυτό δεν είναι σύμπτωση.

Γιατί όχι άρτιο πλήθος ψηφίων;

Ένας κυματιστός αριθμός με \(2n\) ψηφία έχει τη μορφή

\[ ABAB\ldots AB = AB\cdot\frac{10^{2n}-1}{99}. \]

Όταν \(n>1\), και οι δύο παράγοντες είναι μεγαλύτεροι από \(1\), επομένως ο αριθμός είναι σύνθετος. Άρα ένας κυματιστός πρώτος με τουλάχιστον τρία ψηφία πρέπει να έχει περιττό αριθμό ψηφίων και είναι αναγκαστικά παλίνδρομος.

Ένας κυματιστός πρώτος 99 ψηφίων

Μια ιδιαίτερα κομψή έκφραση είναι η

\[ \boxed{ 7+720\cdot\frac{100^{49}-1}{99} } \]

η οποία παράγει τον 99ψήφιο κυματιστό πρώτο

727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727

🔎 Πώς δημιουργείται το μοτίβο 72–72–…–727;

Έχουμε

\[ \frac{100^{49}-1}{99} = 1+100+100^2+\cdots+100^{48}. \]

Πρόκειται ουσιαστικά για έναν «επαναληπτικό αριθμό» στη βάση \(100\). Ο πολλαπλασιασμός με \(720\) δημιουργεί διαδοχικά το ζεύγος ψηφίων \(72\), ενώ η πρόσθεση του \(7\) ολοκληρώνει το μοτίβο με το τελευταίο ψηφίο.

Και ένας πρώτος 515 ψηφίων

Το 2004 ο Mark Ganson εντόπισε ένα πολύ μεγαλύτερο παράδειγμα: έναν κυματιστό πρώτο με 515 ψηφία. Σε συμπαγή μορφή μπορούμε να τον γράψουμε ως

\[ \boxed{ \underbrace{9292\ldots92}_{257\ \text{φορές το }92}9 } \]

🔢 Εμφάνιση ολόκληρου του αριθμού

92929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929292929

Οι κυματιστοί πρώτοι είναι ένα όμορφο παράδειγμα του πώς ένα εξαιρετικά απλό μοτίβο στα δεκαδικά ψηφία μπορεί να οδηγήσει σε ενδιαφέροντα ερωτήματα της Θεωρίας Αριθμών. Το μοτίβο είναι εύκολο να κατασκευαστεί· το δύσκολο είναι να βρεθούν περιπτώσεις στις οποίες ο τεράστιος αριθμός που προκύπτει παραμένει πρώτος.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →