🎯 Εκθετική Πρόκληση: Μία Εξίσωση με Ακριβώς Μία Λύση

Να λυθεί στο σύνολο των πραγματικών αριθμών:

\[ \left(5^x-2^{x-2}\right)^2 + 2\lg\left(5^x+2^{x-2}\right) = x \]

👁️ Δείτε τη Λύση

Μια αριθμητική διερεύνηση της συνάρτησης \(f(x)=(5^x-2^{x-2})^2+2\lg(5^x+2^{x-2})-x\) δείχνει ότι παραμένει πάντα μη αρνητική, με ελάχιστη τιμή πρακτικά μηδενική (της τάξης \(10^{-15}\), δηλαδή ακρίβεια μηχανής) σε ένα και μοναδικό σημείο. Η εξίσωση έχει, δηλαδή, ακριβώς μία πραγματική λύση — το σημείο όπου η αριστερή πλευρά απλώς «αγγίζει» τη δεξιά, χωρίς να τη διασχίζει.

Το κλειδί βρίσκεται στο πρώτο τετράγωνο: για να μηδενιστεί ο όρος \((5^x-2^{x-2})^2\), πρέπει \(5^x=2^{x-2}\). Λύνοντας αυτή τη σχέση:

\[ 5^x=2^{x-2} \ \Longrightarrow\ \left(\frac{5}{2}\right)^x=\frac{1}{4} \ \Longrightarrow\ x=\frac{2\lg2}{\lg(2/5)} \]

Στο ίδιο ακριβώς σημείο, επαληθεύεται ταυτόχρονα ότι ο δεύτερος όρος, \(2\lg(5^x+2^{x-2})=2\lg(2\cdot2^{x-2})\), ισούται ακριβώς με αυτό το \(x\) — δηλαδή, και οι δύο συνθήκες που χρειάζονται για την ισότητα ικανοποιούνται στο ίδιο, μοναδικό σημείο.

\[ \boxed{x = \frac{2\lg2}{\lg(2/5)} \approx -1{,}51294} \]

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →

Σχετικά άρθρα