📐Η Εκπληκτική «Κρησάρα της Παραβολής» – Πώς μια Παραβολή Αποκαλύπτει τους Πρώτους

Όλοι γνωρίζουμε την Κρησάρα του Ερατοσθένη: γράφουμε τους φυσικούς αριθμούς και διαγράφουμε διαδοχικά τα πολλαπλάσια του \(2\), του \(3\), του \(5\) κ.ο.κ., μέχρι να απομείνουν οι πρώτοι.

Υπάρχει όμως ένας πολύ πιο απρόσμενος τρόπος να «ξεχωρίσουμε» τους πρώτους αριθμούς — χρησιμοποιώντας μια παραβολή και ευθείες. Η γεωμετρική αυτή κατασκευή οφείλεται στους Ρώσους μαθηματικούς Yuri Matiyasevich και Boris Stechkin.

Ξεκινάμε με μια παραβολή

Σχεδιάζουμε μια παραβολή της οποίας άξονας είναι ο άξονας \(x\). Για παράδειγμα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε:

\[ \boxed{y^2=2x} \]

Στη συνέχεια κοιτάζουμε πάνω στον άξονα \(x\) τα τέλεια τετράγωνα:

\[ 4,\;9,\;16,\;25,\;36,\ldots \]

Για κάθε \(i\geq2\), η κατακόρυφη ευθεία

\[ x=i^2 \]

τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία: ένα πάνω και ένα κάτω από τον άξονα \(x\).

Ας τα ονομάσουμε \(A_i\) και \(B_i\).

Τώρα ενώνουμε τα σημεία

Ενώνουμε κάθε σημείο \(A_i\) που βρίσκεται πάνω από τον άξονα με κάθε σημείο \(B_j\) που βρίσκεται κάτω από αυτόν.

Έτσι δημιουργείται ένα πυκνό δίκτυο ευθύγραμμων τμημάτων.

Αν τώρα κοιτάξουμε τα σημεία όπου αυτά τα τμήματα τέμνουν τον άξονα \(x\), συμβαίνει κάτι εκπληκτικό:

Τα μόνα θετικά ακέραια σημεία του άξονα από τα οποία δεν περνά κανένα από τα τμήματα είναι οι πρώτοι αριθμοί.

Για παράδειγμα:

\[ \boxed{2,\;3,\;5,\;7,\;11,\;13,\;17,\;19,\ldots} \]

Γιατί όμως συμβαίνει αυτό;

Η εξήγηση κρύβεται στον πολλαπλασιασμό

Τα σημεία της παραβολής που αντιστοιχούν στο \(i\) και στο \(j\) έχουν συντεταγμένες

\[ A_i=(i^2,\sqrt{2}\,i), \qquad B_j=(j^2,-\sqrt{2}\,j). \]

Αν \(i\neq j\), η ευθεία που ενώνει τα \(A_i\) και \(B_j\) μπορεί να γραφτεί:

\[ \frac{y}{\sqrt2} = \frac{x}{i-j} - \frac{ij}{i-j}. \]

Για να βρούμε πού τέμνει τον άξονα \(x\), θέτουμε

\[ y=0. \]

Τότε προκύπτει αμέσως:

\[ \boxed{x=ij} \]

Το ίδιο συμβαίνει και όταν \(i=j\): το αντίστοιχο κατακόρυφο τμήμα τέμνει τον άξονα στο

\[ x=i^2=ij. \]

Επομένως, κάθε τμήμα τέμνει τον άξονα \(x\) σε έναν αριθμό της μορφής

\[ ij, \qquad i,j\geq2. \]

Αλλά αυτοί είναι ακριβώς οι σύνθετοι αριθμοί.

Και οι πρώτοι;

Ένας πρώτος αριθμός \(p\) δεν μπορεί να γραφτεί ως

\[ p=ij \qquad\text{με}\qquad i,j\geq2. \]

Άρα κανένα από τα τμήματα της κατασκευής δεν μπορεί να περάσει από το σημείο \((p,0)\).

Η παραβολή μετατρέπει γεωμετρικά τον πολλαπλασιασμό

\[ (i,j)\longmapsto ij. \]

Τα σημεία του άξονα που «χτυπιούνται» είναι οι σύνθετοι αριθμοί.

Όσα μένουν ανέγγιχτα είναι ακριβώς οι πρώτοι.

Αυτό είναι που κάνει την «κρησάρα της παραβολής» τόσο όμορφη: μια καθαρά αριθμητική ιδιότητα —το αν ένας αριθμός μπορεί να παραγοντοποιηθεί— εμφανίζεται μπροστά μας ως ένα γεωμετρικό φαινόμενο.

Και κάτι ακόμη για τον Matiyasevich

Ο Yuri Matiyasevich είναι μία από τις σημαντικές μορφές της σύγχρονης μαθηματικής λογικής. Είναι ιδιαίτερα γνωστός για την ολοκλήρωση της λύσης του 10ου Προβλήματος του Hilbert, αποδεικνύοντας ότι δεν υπάρχει γενικός αλγόριθμος που να αποφασίζει αν μια οποιαδήποτε Διοφαντική εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις.

Μια παραβολή, μερικά τέλεια τετράγωνα και ευθείες αρκούν για να κάνουν ορατή μια από τις θεμελιώδεις διακρίσεις της Θεωρίας Αριθμών:

πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →