🧮 Η Εξίσωση που Ξεχώριζε τον Μαθηματικό – Η Πρόκληση του Brahmagupta

«Όποιος μπορεί μέσα σε έναν χρόνο να λύσει την εξίσωση \(x^2-92y^2=1\), είναι μαθηματικός».

— Brahmagupta (598–περ. 668)

Η φράση αποδίδεται στον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο Brahmagupta, ο οποίος συμπεριέλαβε το πρόβλημα στο έργο του Brāhmasphuṭasiddhānta, που ολοκληρώθηκε το 628 μ.Χ.

Η εκφώνηση μοιάζει λιτή: να βρεθούν θετικοί ακέραιοι (x) και (y) ώστε

\[x^2-92y^2=1.\]

Το πρόβλημα όμως δεν λύνεται εύκολα με δοκιμές. Οι τετραγωνικές δυνάμεις των δύο αριθμών πρέπει να απέχουν ακριβώς κατά μία μονάδα, παρότι ο ένας πολλαπλασιάζεται με το (92). Η πρώτη θετική λύση βρίσκεται πολύ μακρύτερα απ’ όσο θα περίμενε κανείς.

Δείτε την ελάχιστη λύση

\[x=1151,\qquad y=120.\]

Πράγματι:

\[ \begin{aligned} 1151^2-92\cdot120^2 &=1\,324\,801-1\,324\,800\\ &=1. \end{aligned} \]

Πώς έφτασε ο Brahmagupta στη λύση;

Το κλειδί ήταν μια ιδέα που σήμερα ονομάζουμε ταυτότητα ή λήμμα του Brahmagupta. Αν γνωρίζουμε δύο παραστάσεις της μορφής (x^2-Ny^2), μπορούμε να τις «συνθέσουμε» και να δημιουργήσουμε μία νέα. Στη συγκεκριμένη περίπτωση ξεκινάμε από την πολύ απλή σχέση

\[10^2-92\cdot1^2=8.\]

Συνθέτοντας αυτή τη σχέση με τον εαυτό της, προκύπτει

\[192^2-92\cdot20^2=64.\]

Διαιρώντας κατάλληλα, παίρνουμε την ενδιάμεση σχέση

\[24^2-92\left(\frac52\right)^2=1.\]

Αν συνθέσουμε και αυτή τη λύση με τον εαυτό της, οι συντεταγμένες γίνονται ακέραιες:

\[ x=24^2+92\left(\frac52\right)^2=1151, \qquad y=2\cdot24\cdot\frac52=120. \]

Έτσι εμφανίζεται η ελάχιστη θετική λύση χωρίς να χρειαστεί να δοκιμάσουμε διαδοχικά εκατοντάδες ή χιλιάδες ζεύγη αριθμών.

Η «εξίσωση του Pell» πριν από τον Pell

Εξισώσεις της μορφής

\[x^2-Ny^2=1\]

είναι σήμερα γνωστές ως εξισώσεις του Pell. Η ονομασία είναι ιστορικά παραπλανητική. Ο Brahmagupta τις μελετούσε περίπου μία χιλιετία πριν από τον Άγγλο μαθηματικό John Pell. Αργότερα, ο Bhāskara II ανέπτυξε την κυκλική μέθοδο chakravāla, βασισμένος στις ιδέες του Brahmagupta, για τη συστηματική επίλυση τέτοιων εξισώσεων.

Το εντυπωσιακό δεν είναι μόνο το μέγεθος της λύσης. Είναι ότι ένας μαθηματικός του 7ου αιώνα διέθετε ήδη μια ισχυρή αλγεβρική τεχνική που μετέτρεπε μια σχεδόν αδύνατη αναζήτηση σε μια σύντομη ακολουθία συλλογισμών.

Πηγές: MacTutor – Quotations by Brahmagupta · MacTutor – Pell’s Equation · Wolfram MathWorld – Brahmagupta’s Problem

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →