🌀 Τι Συμβαίνει αν Αλλάξουμε τον Κανόνα j² = −1 στο Σύνολο Mandelbrot;

🌀 Αν Αλλάξουμε την Άλγεβρα, Αλλάζει και το Mandelbrot

Το περίφημο σύνολο Mandelbrot γεννιέται από έναν εξαιρετικά απλό επαναληπτικό κανόνα:

\[ z_{n+1}=z_n^2+c,\qquad z_0=0. \]

Για κάθε παράμετρο \(c\), επαναλαμβάνουμε τον ίδιο υπολογισμό και εξετάζουμε αν η τροχιά του \(0\) παραμένει φραγμένη ή τελικά διαφεύγει στο άπειρο.

Υπάρχει όμως κάτι βαθύτερο που εύκολα περνά απαρατήρητο: για να υπολογίσουμε το \(z^2\), πρέπει προηγουμένως να έχουμε αποφασίσει τι σημαίνει πολλαπλασιασμός στο αριθμητικό σύστημα μέσα στο οποίο εργαζόμαστε.

Στους συνηθισμένους μιγαδικούς αριθμούς γράφουμε

\[ z=x+yj \]

και ο θεμελιώδης κανόνας είναι

\[ j^2=-1. \]

Αυτός ακριβώς ο πολλαπλασιασμός οδηγεί στο κλασικό σύνολο Mandelbrot με την χαρακτηριστική καρδιοειδή και τους διαδοχικούς «βολβούς» του.

Τι θα συμβεί όμως αν κρατήσουμε ακριβώς την ίδια επανάληψη

\[ z\mapsto z^2+c \]

και αλλάξουμε μόνο τον αλγεβρικό κανόνα με τον οποίο υπολογίζεται το τετράγωνο;

Για παράδειγμα, μπορούμε να εξετάσουμε μια διαφορετική διδιάστατη άλγεβρα στην οποία

\[ j^2=1 \]

αντί για \(j^2=-1\). Τότε το \(z^2\) είναι διαφορετικό αντικείμενο και επομένως διαφορετική γίνεται και ολόκληρη η τροχιά της επανάληψης.

Μπορούμε να προχωρήσουμε ακόμη περισσότερο και να ορίσουμε άλλους κανόνες πολλαπλασιασμού. Κάθε φορά θέτουμε ακριβώς το ίδιο ερώτημα:

Για ποιες τιμές της παραμέτρου \(c\) η τροχιά του \(0\) παραμένει φραγμένη;

Η ερώτηση δεν άλλαξε. Ο επαναληπτικός τύπος δεν άλλαξε. Άλλαξε όμως η άλγεβρα — και μαζί της μπορεί να αλλάξει δραματικά η γεωμετρία του συνόλου των παραμέτρων.

Έτσι μπορούν να εμφανιστούν περιοχές περισσότερο γεμάτες και ομαλές, άλλες με αιχμές και διακλαδώσεις και άλλες με υβριδικές, σχεδόν οργανικές μορφές που απέχουν εντυπωσιακά από το γνώριμο περίγραμμα του Mandelbrot.

Το εντυπωσιακό είναι ότι η διαφορετική εικόνα δεν προκύπτει επειδή αλλάξαμε τον τύπο της επανάληψης. Προκύπτει επειδή αλλάξαμε το νόημα μιας μόνο πράξης μέσα σε αυτόν: του πολλαπλασιασμού που κρύβεται στο \(z^2\).

Αυτό μας θυμίζει κάτι βαθύτερο για τα Μαθηματικά. Ένας τύπος δεν υπάρχει ανεξάρτητα από τη δομή μέσα στην οποία ερμηνεύεται. Οι ίδιες συμβολικές εντολές μπορούν να δημιουργήσουν εντελώς διαφορετικούς κόσμους όταν αλλάζουν οι αλγεβρικοί κανόνες που βρίσκονται από κάτω.

Ίδια επανάληψη.
Διαφορετική άλγεβρα.
Διαφορετική γεωμετρία.

📚

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώΠολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — 437 βιβλία σε PDF

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →