EisatoponAI: 🔐 Μπορείτε να Βρείτε τον PIN του Περικλή;

Ο Περικλής μού αποκάλυψε ότι έχει ένα μαθηματικό κόλπο για να θυμάται τον τετραψήφιο PIN του κινητού του.

«Ο PIN μου», είπε, «είναι η λύση του ακόλουθου προβλήματος»:

Αν διαιρέσω τον PIN με το \(5\), το υπόλοιπο είναι \(4\).

Αν τον διαιρέσω με το \(7\), το υπόλοιπο είναι \(6\).

Αν τον διαιρέσω με το \(9\), το υπόλοιπο είναι \(8\).

Και αν τον διαιρέσω με το \(11\), το υπόλοιπο είναι \(10\).

Έκανα γρήγορα τους υπολογισμούς στο μυαλό μου και του είπα:

— Μα, Περικλή... υπάρχουν δύο δυνατοί PIN!

Ο Περικλής χαμογέλασε:

— Το ξέρω, φίλε μου.
Αλλά το τηλέφωνό μου μού δίνει τρεις προσπάθειες! 😄

🧩 Μπορείτε να βρείτε τους δύο πιθανούς τετραψήφιους PIN;

🔍 Δείτε τη λύση

Παρατηρούμε ότι κάθε υπόλοιπο είναι κατά \(1\) μικρότερο από τον αντίστοιχο διαιρέτη:

\[ N\equiv -1\pmod5,\qquad N\equiv -1\pmod7, \]

\[ N\equiv -1\pmod9,\qquad N\equiv -1\pmod{11}. \]

Άρα ο \(N+1\) πρέπει να διαιρείται συγχρόνως με \(5,7,9\) και \(11\).

\[ N+1 \quad\text{είναι πολλαπλάσιο του}\quad \operatorname{ΕΚΠ}(5,7,9,11). \]

Επειδή οι τέσσερις αριθμοί είναι ανά δύο πρώτοι μεταξύ τους,

\[ \operatorname{ΕΚΠ}(5,7,9,11) =5\cdot7\cdot9\cdot11 =3465. \]

Επομένως

\[ N=3465k-1. \]

Αναζητούμε μόνο τετραψήφιους αριθμούς. Για \(k=1\) και \(k=2\) παίρνουμε:

\[ \boxed{N=3464} \qquad\text{ή}\qquad \boxed{N=6929}. \]

Άρα ο Πέπε έχει πράγματι δύο πιθανούς PIN — και μία προσπάθεια περισσεύει! 😄

EisatoponAI