[38-39] - Algebraic Inequalities from and for Contests

1. Nα αποδειχθεί ότι για κάθε φυσικό αριθμό \( k \leq n \) ισχύουν: \[ 1 + \frac{k}{n} \leq \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^k \leq 1 + \frac{k}{n} + \frac{k^2}{n^2}. \]

2. Για \( 0 \leq x \leq 1 \), να αποδειχθεί ότι: \[ 2^{x/2} - 2^{-x/2} \leq \frac{x}{\sqrt{2}}. \]