Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [5]

Έστω συνεχής συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $(0,+\infty)$, για την οποία ισχύουν: 

• $f(x) > 0$ για κάθε $x \in (0,+\infty)$ 
• $\lim_{x \to 2} \dfrac{f(x) - 4}{x-2} = 4(ln2+1)$ 
• Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $(1,+\infty)$ με $f'(x) = f(x) (\ln x + 1)$ 
• Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $(0,1)$ με $f'(x) = f(x) \left( \dfrac{1 - \ln x}{x^2} \right)$ 

A. Να υπολογιστεί το $f(2)$} 

B. Να βρεθεί ο τύπος της $f$

Γ. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει:

• ακριβώς ένα $x_0 \in (0,+\infty)$ ώστε $f(x_0) = 3$ 
• τουλάχιστον ένα $\xi \in \left( \frac{1}{2}, x_0 \right)$

 τέτοιο ώστε 

$2(2x_0 - 1) f'(\xi) = 11$ 

Δ. Δίνεται η συνάρτηση 

$g(x) = e^{-x} (x^2 - x + 2)$.} 

Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f, g$: 

1. Στο διάστημα $(0,1)$ έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο. 
2. Δεν δέχονται κοινή εφαπτομένη.

@maths4people