Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [28]

 Toυ Νίκου Παπαγγελή  

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x) = a^x + (1 - a)x - 1, \quad x \in \mathbb{R}$

με  $a \in (0, 1) \cup (1, +\infty).$ 

Δ1. Να αποδείξετε ότι: 

α) Η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή. 

β) Για τη συνάρτηση $f$ ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα $[0, 1]$. 

Δ2. Να αποδείξετε ότι: 

α) Η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σε μοναδικό σημείο $x_0$, με $x_0 \in (0, 1)$. 

β) $0 < \ln ( \dfrac{a - 1}{\ln a}) < 1$, για κάθε $a \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$. 

Δ3. Να υπολογίσετε το όριο 

$\lim_{x \to +\infty} \left[ x \cdot \eta \mu \left( f \left( \dfrac{xx_0 +1}{x} \right) - f(x_0) \right) \right].$

Δ4. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$, για τις διάφορες τιμές του $a \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$. 

Δ5. Να λύσετε την εξίσωση 

$f \left( \eta \mu^2 x - x^2 + f' \left( \ln \left( \dfrac{a - 1}{\ln a} \right) \right) \right) = 0.$