Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [31]

 Toυ Δημήτρη Σκέντζου  

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f: \left[ -\dfrac{\pi}{2}, +\infty \right) \rightarrow \mathbb{R}$, με τύπο 

$f(x) = \begin{cases} \chi \eta \mu x + \alpha, & -\dfrac{\pi}{2} \le x \le 0 \\ x \ln x + e^x, & x > 0 \end{cases} $ 

Α. Να αποδείξετε ότι $\alpha = 1$. 

Β. i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0 \in (0, 1)$ στο οποίο η $f$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. 

ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει 

$\int_{x_0}^1 xf''(x) dx - f(x) \le 1$ 

για κάθε $x \in \left[ -\dfrac{\pi}{2}, +\infty \right)$. 

Γ. Να αποδείξετε ότι 

$\lim_{x \rightarrow x_0} \dfrac{2x( f(x) - f(x_0))}{(x - x_0)^2} = 1 + x_0 e^{x_0}$

όπου $x_0$ ο αριθμός του Β i) ερωτήματος. 

Δ. Έστω $F$ μια αρχική της $f$ στο $\left[ -\dfrac{\pi}{2}, 0 \right]$. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi \in \left( -\dfrac{\pi}{2}, 0 \right)$ τέτοιο ώστε 

$F(0) - F(\xi) -ξ = \dfrac{\pi}{2}$.