Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [32]

 Του Δημήτρη Σπαθάρα  

Έστω η συνάρτηση $f: \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο 

$f(x) = 3x - εφx$.

$\Delta$1) Να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικά $x_1, x_2$ με $x_1 \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{4}\right)$ και $x_2 \in \left(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right)$, τέτοια ώστε η συνάρτηση $f$ να παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο $x_1$ και τοπικό μέγιστο στο $x_2$.

$\Delta$2) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$f(x) = 0$ 

έχει ακριβώς τρεις ρίζες στο $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$.

$\Delta$3) Να δείξετε ότι 

$f(x) \le 2\eta \mu x$ 

για κάθε $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)$.

$\Delta$4) Να δείξετε ότι 

$\int_0^{x_2} f(x)dx < \dfrac{2(3-\sqrt{3})}{3}$ 

όπου $x_2$ είναι το σημείο στο οποίο η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.