Εγγράψιμο εξάγωνο

Έστω $ABC$ ένα οξυγώνιο τρίγωνο και έστω $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ τα ύψη του. Επιλέγονται σημεία $A'$, $B'$, $C'$ στα τμήματα $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ αντίστοιχα, έτσι ώστε

$\angle BA'C = \angle AC'B = \angle CB'A = 90^\circ$.

Έστω ότι οι ευθείες $AC'$ και $CA'$ τέμνονται στο $B''$, οι ευθείες $CB'$ και $BC'$ τέμνονται στο $A''$, και οι ευθείες $BA'$ και $AB'$ τέμνονται στο $C''$. Αποδείξτε ότι το εξάγωνο $A'B''C'A''B'C''$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο.