Μέσο Μήκος Τυχαίας Ευθείας σε Τετράγωνο, Κύβο & Υπερκύβο
Ακόμη και για απλά σχήματα, όπως ένα τετράγωνο ή ένα τρίγωνο, ο υπολογισμός της μέσης απόστασης μεταξύ δύο τυχαίων σημείων (δηλαδή του mean line segment length) μπορεί να είναι δύσκολος, καθώς οι ακριβείς τύποι συχνά είναι περίπλοκοι.
.png)
Για παράδειγμα: Ποια είναι η μέση απόσταση μεταξύ δύο τυχαία επιλεγμένων σημείων μέσα σε ένα τετράγωνο πλευράς 1;
$$ \frac{2+\sqrt{2}+5\ln(1+\sqrt{2})}{15} \approx 0.521405 $$
Αυτή η τιμή είναι το μέσο μήκος τυχαίας ευθείας για ένα τετράγωνο μοναδιαίας πλευράς. Γενικεύοντας, για n‑διάστατο μονάδα υπερκύβο, ορίζεται:
$$ \Delta(n) = \int_{[0,1]^n}\int_{[0,1]^n} \|x - y\| \, dx\, dy $$
📐 Τιμές για Μικρές Διαστάσεις
| Διάσταση n | Μέσο Μήκος Δ(n) | Ακριβής Τιμή |
| 1 | ≈ 0.3333 | \( \frac{1}{3} \) |
| 2 | ≈ 0.521405 | \( \frac{2+\sqrt{2}+5\ln(1+\sqrt{2})}{15} \) |
| 3 | ≈ 0.661707 | Πολύπλοκη έκφραση με λογάριθμους & ρίζες |
| 4 | ≈ 0.777666 | - |
| 5 | ≈ 0.878531 | - |
Ισχυρές Εκτιμήσεις
$$ \frac{1}{3}\sqrt{n} \le \Delta(n) \le \sqrt{\frac{n}{6}} \sqrt{\frac{1 + 2\sqrt{1 - \frac{3}{5n}}}{3}} $$
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου