✏️ Γωνιακή Σχέση και Αλγεβρική Ταυτότητα σε Τρίγωνο

Έστω τρίγωνο ABC με πλευρές a,b,c. Αν ισχύει  

$3\angle A+2\angle B=180^\circ$ 

τότε να αποδειχθεί ότι: $$a^2+bc−c^2=0.$$

The Right Way to Teach Math

Το Πρόβλημα του Butcher Boy

Μια αυθεντική διήγηση του Sam Loyd που κλείνει με έναν γρίφο

«Πόσο καλά μπορεί να χειριστεί κανείς τους αριθμούς;»

Ο Σαμ Λόιντ, ο σπουδαίος γρίφος και ιστοριογράφος, μας μεταφέρει μια θαυμάσια και αληθινή ιστορία που εμπλέκει τον Στρατηγό και Πρόεδρο των Η.Π.Α. Οδυσσέα Γκραντ, τον αγαπημένο του ίππο, και ένα... πρόβλημα μαθηματικής λογικής!

Η Ιστορία

Σε μια απογευματινή του βόλτα κατά την προεδρική του θητεία, ο Γκραντ εντυπωσιάστηκε όταν ένα άλογο που έσερνε ένα κάρο χασάπη πέρασε μπροστά του τόσο γρήγορα που έκανε τη δική του ομάδα να φαίνεται... ακίνητη.

[62] - Algebraic Inequalities from and for Math Contests

Αν a,b,c>0 και a+b+c=1, τότε αποδείξτε ότι:

(a)

$$\frac{1 - a^2}{b + c} + \frac{1 - b^2}{c + a} + \frac{1 - c^2}{a + b} = 4$$

(b)

$$\frac{1-a^3}{b+c}+\frac{1-b^3}{c+a}+\frac{1-c^3}{a+b}\ge \frac{13}{3}$$

Μπορείς να Πετύχεις Ένα Μόνο −1; Μια Πρόκληση με Πρόσημα και Κινήσεις

Η Κάτια έγραψε τον αριθμό +1 δέκα φορές σ’ έναν πίνακα.

Σε κάθε κίνησή της, έχει τη δυνατότητα να αντιστρέψει το πρόσημο πέντε από τους αριθμούς του πίνακα (δηλαδή να μετατρέψει κάποιον +1 σε −1 και αντίστροφα). Μπορεί να εκτελέσει όσες κινήσεις θέλει, χωρίς περιορισμό.

Το ερώτημα είναι:

👉 Μπορεί μετά από μια σειρά τέτοιων κινήσεων να καταλήξει με εννέα +1 και ένα μόνο −1 στον πίνακα;

Αν ναι, ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων που απαιτούνται για να το πετύχει;

Έξι Παιδιά, Δίδυμα και Μέσοι Όροι: Ποια Είναι η Ηλικία Καθένα;

Μία οικογένεια έχει έξι παιδιά. Ο μέσος όρος ηλικίας των αγοριών είναι 20 έτη, ενώ ο μέσος όρος ηλικίας των κοριτσιών είναι 12 έτη.

Ένα ενδιαφέρον στοιχείο είναι ότι κάθε παιδί έχει ένα δίδυμο αδελφό του ίδιου φύλου — δηλαδή, όλα τα παιδιά έχουν αδελφάκια ίδιου φύλου και ίδιας ηλικίας.

Με βάση αυτά τα στοιχεία, μπορείτε να βρείτε την ηλικία καθενός από τα παιδιά;

🌌 Γιατί Μόνο Μερικοί Πλανήτες Έχουν Δακτυλίους;

Το Όριο Roche, η Παλιρροιακή Διαταραχή και μια Μαθηματική Εξήγηση του Ουράνιου Φαινομένου

Γιατί η Γη δεν έχει δακτυλίους, ενώ ο Κρόνος είναι κυκλωμένος από εντυπωσιακά φωτεινά τόξα; Πώς εξηγείται το ότι κάποιοι πλανήτες, όπως ο Δίας ή ο Ποσειδώνας, έχουν μεν δακτυλίους, αλλά λιγότερο εντυπωσιακούς;

Η απάντηση δεν είναι μόνο θέμα τύχης ή οπτικής εντύπωσης. Κρύβεται σε έναν απλό αλλά ισχυρό φυσικό μηχανισμό: την παλιρροιακή διαταραχή και το λεγόμενο Όριο Roche, μια ιδέα που γεννήθηκε από τις μαθηματικές μελέτες του Γάλλου αστρονόμου Édouard Roche το 1848.

🧮 Η επανάσταση του d/dx!

Στα τέλη του 17ου αιώνα, ο Gottfried Wilhelm Leibniz άλλαξε για πάντα τα μαθηματικά με τον συμβολισμό dy/dx, περιγράφοντας τον ρυθμό μεταβολής μιας μεταβλητής ως λόγο απειροελάχιστων αλλαγών. 🔬

⚙️ Η ιδιοφυΐα του ήταν ότι αυτός ο τρόπος γραφής επέτρεψε ευκολότερους και πιο σύνθετους υπολογισμούς — όπως ο αλυσιδωτός κανόνας — ενώ η σημειογραφία του προσφέρει εξαιρετική διαισθητικότητα και γενικευσιμότητα.