Sequential Probability Ratio Test (SPRT) – Ο Γρίφος της Στατιστικής Απόφασης

Το Sequential Probability Ratio Test (SPRT) είναι μια στατιστική μέθοδος που μας επιτρέπει να παίρνουμε γρήγορες αποφάσεις για το αν μια υπόθεση είναι σωστή ή λανθασμένη, χωρίς να περιμένουμε να συλλέξουμε όλο το δείγμα.

Σε αντίθεση με τα παραδοσιακά τεστ, όπου συλλέγουμε όλα τα δεδομένα και μετά βγάζουμε συμπέρασμα, το SPRT δουλεύει βήμα-βήμα:

• Αναλύουμε κάθε νέα παρατήρηση καθώς έρχεται.

• Σταματάμε νωρίτερα αν έχουμε αρκετές ενδείξεις υπέρ ή κατά μιας υπόθεσης.

• Συνεχίζουμε μόνο αν τα δεδομένα δεν είναι ακόμα επαρκή.

---

Παράδειγμα – Ο Γρίφος 🧩

Στο Airbus A380, το SPRT χρησιμοποιείται για την ανίχνευση βλαβών στους υδραυλικούς ενεργοποιητές του συστήματος ελέγχου πτήσης.

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ελέγξουμε αν ένας υδραυλικός ενεργοποιητής παρουσιάζει ταλαντωτικές βλάβες.

Δεδομένα

• Υπόθεση $H_0$: Ο ενεργοποιητής λειτουργεί κανονικά.

• Υπόθεση $H_1$: Ο ενεργοποιητής έχει βλάβη.

• Ανοχή σφάλματος:

  • Πιθανότητα ψευδούς συναγερμού: $\alpha = 5\%$

  • Πιθανότητα μη εντοπισμού βλάβης: $\beta = 10\%$.

Παρατηρούμε μία μέτρηση κάθε φορά.
Σε κάθε βήμα, υπολογίζουμε τον λόγο πιθανοφανειών:

$${\mathrm{\Lambda }}_n=\frac{P((\delta \epsilon \delta o\mu έ\nu \alpha )\mid H_1)}{P(\delta \epsilon \delta o\mu έ\nu \alpha )\mid H_0)}$$

• Αν $\Lambda_n > A$, σταματάμε και δεχόμαστε ότι υπάρχει βλάβη.

• Αν $\Lambda_n < B$, σταματάμε και δεχόμαστε ότι ο ενεργοποιητής είναι εντάξει.

• Διαφορετικά, παίρνουμε νέα μέτρηση.

---

Η Πρόκληση 🎯

1. Για δεδομένα $\alpha =\mathrm{0.05\; \kappa \alpha \iota }$$\beta = 0.10$,
   υπολόγισε τα όρια απόφασης $A$ και $B$ με τον τύπο:

   $$A=\frac{1-\beta }{\alpha },B=\frac{\beta }{1-\mathrm{\alpha }}$$

2. Δοκίμασε να εφαρμόσεις το SPRT για τις μετρήσεις:

   $$0.8,1.2,1.6,2.5,2.7,3.0$$

   (θεώρησε ότι το μοντέλο προβλέπει κανονική κατανομή με μέση τιμή 1.0 για $H_0$ και 2.5 για $H_1$).

3. Σε ποιο βήμα μπορείς να σταματήσεις με βεβαιότητα;

---

Hint 💡

Το μυστικό του SPRT είναι ότι δεν χρειάζεται να περιμένεις να συλλέξεις όλα τα δεδομένα:

• Μπορεί να καταλήξεις νωρίς σε ασφαλές συμπέρασμα.

• Αλλά μπορεί να χρειαστεί να συνεχίσεις αν τα δεδομένα είναι αμφίβολα.

Πόση ώρα έτρεχε πάνω από το όριο; 🚗💨

Στο αυτοκίνητο του Χριστόφορου υπάρχει βλάβη στο cruise control: η ταχύτητα αυξάνεται συνεχώς και γραμμικά με τον χρόνο. Ξεκινάει με ταχύτητα 60 mph σε έναν μακρύ, ευθύ δρόμο, με το ραδιόφωνο στο τέρμα και χωρίς να προσέχει το κοντέρ. 

Μετά από 3 ώρες παρατηρεί ότι η ταχύτητά του έχει φτάσει τις 80 mph.

Ερώτημα: Για πόσα miles οδήγησε πάνω από το κρατικό όριο ταχύτητας των 70 mph;

AI και Εξωγήινοι: Πώς η Τεχνητή Νοημοσύνη Μεταμορφώνει την Αναζήτηση για Εξωγήινη Ζωή 🌌🤖👽

Από τότε που ο άνθρωπος σήκωσε το βλέμμα του προς τον ουρανό, το ερώτημα παραμένει αναπάντητο: είμαστε μόνοι στο σύμπαν; Η αναζήτηση εξωγήινης νοημοσύνης (SETI) ξεκίνησε δεκαετίες πριν, με επιστήμονες να «αφουγκράζονται» τα άστρα μέσω ραδιοτηλεσκοπίων. Όμως, η τεράστια ποσότητα δεδομένων καθιστούσε αυτή την αναζήτηση σχεδόν αδύνατη.

Σήμερα, η Τεχνητή Νοημοσύνη (AI) αλλάζει ριζικά το παιχνίδι. Με τη δύναμη των νευρωνικών δικτύων και της μηχανικής μάθησης, η AI μπορεί να αναλύει δισεκατομμύρια σήματα από το διάστημα, να εντοπίζει ανωμαλίες και να μας φέρνει πιο κοντά από ποτέ στην απάντηση στο αιώνιο ερώτημα.

Πιθανότητα να σχηματιστεί τρίγωνο από τυχαίο σπάσιμο ραβδιού 🔺

Έχουμε ένα ραβδί μήκους $1$ που σπάει τυχαία σε τρία κομμάτια, επιλέγοντας δύο σημεία ανεξάρτητα και ομοιόμορφα κατά μήκος του.

Ερώτημα:

Ποια είναι η πιθανότητα τα τρία τμήματα να μπορούν να σχηματίσουν τρίγωνο;

(Υπενθύμιση: Για να σχηματιστεί τρίγωνο, το μήκος κάθε πλευράς πρέπει να είναι μικρότερο από το άθροισμα των άλλων δύο.)

Orthoptic και Isoptic Καμπύλες 🔵📐

Οι orthoptic και isoptic καμπύλες είναι συναρπαστικά γεωμετρικά αντικείμενα με εφαρμογές στη μαθηματική ανάλυση, την οπτική και τη φυσική.

ΟΡΙΣΜΟΙ

Orthoptic

Η orthoptic μιας καμπύλης είναι ο γεωμετρικός τόπος όλων των σημείων από τα οποία μπορούμε να χαράξουμε δύο εφαπτόμενες στην καμπύλη που σχηματίζουν ορθή γωνία.

Κωνικές Τομές: Η Γεωμετρία που Συνδέει Ιστορία, Φυσική και Τέχνη 🔵🔺🔶

Οι κωνικές τομές (conic sections) είναι ένα από τα παλαιότερα και πιο θεμελιώδη κεφάλαια των μαθηματικών. Αποτελούν τις καμπύλες που προκύπτουν από την τομή ενός διπλού κώνου με ένα επίπεδο. Ανάλογα με τη γωνία τομής, προκύπτουν:

• Έλλειψη ➝ όταν το επίπεδο τέμνει τον κώνο υπό γωνία μικρότερη της πλευρικής.

• Παραβολή ➝ όταν το επίπεδο είναι παράλληλο προς μια γενέτειρα του κώνου.

• Υπερβολή ➝ όταν το επίπεδο σχηματίζει γωνία μικρότερη από την κορυφής και τέμνει και τους δύο κώνους.

Κύκλοι περιγεγραμμένοι και κέντρο βάρους σε ορθογώνιο τρίγωνο

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC με $\angle BCA = 90^\circ∠$, και G το κέντρο βάρους του. Παίρνουμε σημείο P πάνω στην ημιευθεία AG τέτοιο ώστε $\angle CPA = \angle CAB$, και σημείο Q πάνω στην ημιευθεία BG τέτοιο ώστε $\angle CQB = \angle ABC$.

Να αποδειχθεί ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων AQG και BPG τέμνονται σε σημείο που ανήκει στο ευθύγραμμο τμήμα AB.

2018 Canadian Mathematical Olympiad

Ισόπλευρα μέσα σε Ισόπλευρα 🔺

Τέσσερα τρίγωνα είναι ισοπλεύρα. Στο σχήμα, ένα μεγάλο ισόπλευρο περιέχει τα άλλα τρία ισόπλευρα τρίγωνα χρωματισμένα.

Ερώτημα: Τι κλάσμα του μεγάλου ισόπλευρου τριγώνου είναι χρωματισμένο;