Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο [1-13]

1. Να αποδείξετε ότι: \[ a^2 + \beta^2 + \gamma^2 \geq 9R^2 \]

2. Να αποδείξετε ότι: 

$(4R + \rho)^2 + 2\tau \left[ \frac{R}{\rho} \sqrt{(\tau - \alpha)} + \sqrt{(\tau - \beta)} + \sqrt{(\tau - \gamma)} \right] \geq$

$\geq\tau^2 + 2\tau (4R + \rho) R\rho \left[ \dfrac{1}{\sqrt{\alpha(\tau - \alpha)}} + \dfrac{1}{\sqrt{\beta(\tau - \beta)}} + \dfrac{1}{\sqrt{\gamma(\tau - \gamma)}} \right]$ 

3. Να αποδείξετε ότι: \[\sqrt{\sqrt{6} - 3\sqrt{2}} \leq \sum \left[ (\sqrt{2} + 1) \sigma\upsilon\nu \frac{A}{8}-ημ\frac{A}{8}\right]^{-1} \] 4. Να αποδείξετε ότι: \[ E \leq \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2 \] 5. Να αποδείξετε ότι: \[ \tau^2 \geq 2R^2 + 8R\rho + 3\rho^2 \] 6. Να αποδείξετε ότι: \[ \sigma\upsilon\nu A \sigma\upsilon\nu B \sigma\upsilon\nu \Gamma \leq \frac{2E^2}{27R^4} \] 7. (Γ. Τζίντζιφας, 1985) Αν $k, \lambda, \mu \in \mathbb{R}^*$, να αποδείξετε ότι: \[ \frac{κα^4}{λ + \mu} + \frac{λβ^4}{\mu + \kappa} + \frac{μγ^4}{\kappa + \lambda} \geq 8E^2 \] Με τη βοήθεια της ανισότητας Τζίντζιφα να αποδείξετε ότι:

8. Να αποδείξετε ότι: \[ \alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 \geq 16E^2 \] 9. Να αποδείξετε ότι: \[ 3\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 \geq 24E^2 \] 10. Να αποδείξετε ότι: \[ 2\alpha^4 + 5\beta^4 + 10\gamma^4 \geq 80E^2 \] 11. Να αποδείξετε ότι: \[ \frac{\alpha^4}{\gamma} + \frac{\beta^4}{\alpha} + \frac{\gamma^4}{\beta} \geq \frac{(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2)^2}{\alpha + \beta + \gamma} \] 12. Να αποδείξετε ότι: \[ \frac{\alpha^5}{\beta + \gamma} + \frac{\beta^5}{\gamma + \alpha} + \frac{\gamma^5}{\alpha + \beta} \geq 8E^2 \] 13. Να αποδείξετε ότι: \[ \frac{\alpha^3}{\gamma(\gamma + \alpha)} + \frac{\beta^3}{\alpha(\alpha + \beta)} + \frac{\gamma^3}{\beta(\beta + \gamma)} \geq \frac{2E}{R} \] Από το βιβλίο «Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο», του Δ. Κοντογιάννη.