Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [6]

Έστω συνάρτηση $f : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ και για την οποία ισχύουν: 

• $f(1) = 1$ 
• $(x-1)f''(x) + 2f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$, για κάθε $x > 0$ 

 α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln x}{x-1}, & 0 < x \neq 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}$ 

 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα και ότι το σύνολο τιμών της είναι το $(0, +\infty)$. 

 γ) Να αποδείξετε ότι 

$f''(1) = \dfrac{2}{3}$. 

 δ) Έστω συνάρτηση $g : (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, η οποία είναι συνεχής και ικανοποιεί τις σχέσεις $g(1) = 1$ και 

$(g(x) - f(x))(g(x) + 3f(x)) = 0$

για κάθε $x > 0$. Να αποδείξετε ότι $f = g$. 

ε) Ένα σημείο $M$ κινείται στη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 4 cm/sec. Αν $A$ είναι η προβολή του σημείου $M$ στον άξονα $x'x$ και $B$ τυχαίο σημείο του άξονα $y'y$, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου $ABM$ τη χρονική στιγμή κατά την οποία το $M$ διέρχεται από το σημείο $(1, f(1))$.