Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [7]

Έστω μία συνεχής συνάρτηση $f : (-e, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ με $f(0) = 1$, η οποία ικανοποιεί τη σχέση 

$e^{f(x)} = \dfrac{1}{f'(x)}$ 

για κάθε $ x \in (-e, +\infty).$ 

α) Να αποδείξετε ότι

 $f(x) = \ln(x+e)$, $x \in (-e, +\infty)$. 

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της. 

γ) Να υπολογίσετε το όριο 

$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - x)$. 

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ και τους ημιάξονες $Ox'$ και $Oy$. 

ε) Να βρείτε τον θετικό πραγματικό αριθμό $a$, αν ισχύει 

$e^{f(x)} + 2e^x - xa \ge e + 2$ 

για κάθε $x > -e$. 

στ) Να αποδείξετε ότι 

$\int_{\frac{1}{2}}^{1} \dfrac{\ln(x+e)}{\ln(x^2+e)} \, dx > \dfrac{1}{2}$.