Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [4]

 Δημήτρη Σπαθάρα  

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln x + x^2}{x^2} & \text{αν } 0 < x \le 1 \\ \dfrac{x \ln x}{x-1} & \text{αν } x > 1 \end{cases}$  

Δ1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $(0, +\infty)$ και να βρείτε ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης. 

Δ2) Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της $f$ και να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία. 

Δ3) Να δείξετε ότι: 

α) η εξίσωση $f(x) = 0$ έχει μοναδική ρίζα $x_0$, η οποία ανήκει στο διάστημα $(0, 1)$ και 

β) το εμβαδόν του χωρίου $\Omega$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $f$, τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x = 1$ και $x = x_0$, όπου $x_0$ η μοναδική ρίζα της εξίσωσης $f(x) = 0$, είναι 

$E(\Omega) = \dfrac{1}{x_0} - 2x_0$. 

Δ4) Αν $F$ είναι μια παράγουσα συνάρτηση της $f$, τότε για κάθε $x \in (1, +\infty)$ να δείξετε ότι ισχύει 

$(\sqrt{x} + 1) F(\sqrt{x}) < \sqrt{x} F(1) + F(x)$.