Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [27]

 Του Νίκου Σούρμπη  

Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι $$ \lim_{x \to x_0} \frac{xf(x) - x_0 f(x_0)}{x - x_0} = (\nu + 1) x_0^\nu $$ για κάθε $x,x_0 \in \mathbb{R}$ και $\nu \in \mathbb{N}^*$. 

Δ1) Να δείξετε ότι 

$f(x) = x^\nu$, $A \in \mathbb{R}$. 

Δ2) Να δείξετε ότι 

$f(x+1) \ge 1 + \nu x + \dfrac{\nu (\nu - 1)}{2} x^2$ 

για κάθε $x \ge 0$ και $\nu \ge 3$. 

Δ3) i) Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης $f$, αν για το εμβαδόν χωρίου $E$ ανάμεσα στην $f$, τον άξονα $x'x$ και τις ευθείες $x = 0, x = 1$ ισχύει ότι 

$E = 2^{1-\nu}$.

ii) Να βρείτε $\alpha \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$, αν ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ ότι $$ 2(\sigma \upsilon \nu \alpha)^{f(x) - \alpha} + \eta \mu^2 \alpha (f(x) - \alpha) \ge 2 $$