Απόδειξη ανισότητας με σχέδιο

Δεδομένου ότι $p,q>0$ και $p+q=1$. Αποδείξτε ότι 

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} \geq 4$ και ${\left( {p + \dfrac{1}{p}} \right)^2} + {\left( {q + \dfrac{1}{q}} \right)^2} \ge \dfrac{{25}}{2}$. 

Απόδειξη

Έχουμε διαδοχικά:

$1\ge 4pq\Rightarrow \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} \geq 4.$

${2\left( {p + \dfrac{1}{p}} \right)^2} + {2\left( {q + \dfrac{1}{q}} \right)^2} \ge {\left( {p + \dfrac{1}{p} + q + \dfrac{1}{q}} \right)^2} \ge {\left( {1 + 4} \right)^2} = 25. $

Σύμφωνα με το περιοδικό Mathematics.