Ανισότητα Αριθμητικού–Γεωμετρικού–Αρμονικού Μέσου (AM–GM–HM): σύντομη απόδειξη με αναγωγή & επαγωγή

Πρόταση

Θέλουμε να δείξουμε ότι για θετικούς $y_1,\dots,y_n$ ισχύει: $$\frac{y_1+\cdots+y_n}{n} \ge \sqrt[n]{y_1\cdots y_n} \ge \frac{n}{\displaystyle \frac{1}{y_1}+\cdots+\frac{1}{y_n}},$$ με ισότητα $\Leftrightarrow y_1=\cdots=y_n$.

Απόδειξη

Βήμα 1 (κλειδί). Αρκεί να αποδείξουμε: αν $x_i\ge 0$ και $\prod_{i=1}^n x_i=1$, τότε $$\sum_{i=1}^n x_i ,\ge, n. \tag{*}$$

Τότε, με την αναγωγή $x_i=\dfrac{y_i}{\sqrt[n]{\prod_{k=1}^n y_k}}$ παίρνουμε AM ≥ GM, ενώ για $x_i=\dfrac{1}{y_i}$ παίρνουμε GM ≥ HM.

Βήμα 2 (επαγωγή για (*)). Προφανές για $n=1$. Έστω αληθές για $n-1$. Διατάσσουμε ώστε $x_1\le \cdots \le x_n$, άρα $x_1\le 1 \le x_n$. Από $\prod x_i=1$ έχουμε $$x_2\cdots x_{n-1}\cdot (x_1x_n)=1.$$

Με την επαγωγική υπόθεση στο σύνολο ${x_2,\dots,x_{n-1}, x_1x_n}$ (πλήθος $n-1$): $$x_2+\cdots+x_{n-1}+x_1x_n \ge n-1.$$

Προσθέτοντας $x_1+x_n-x_1x_n$ στα δύο μέλη, $$\sum_{i=1}^n x_i \ge n-1 + (x_n-1) + (x_1 - x_1x_n) = n + (x_n-1)(1-x_1) \ge n,$$ εφόσον $x_n\ge1$ και $x_1\le1$. Άρα (*) ισχύει για κάθε $n$.

Συμπέρασμα

Με την αναγωγή προκύπτουν αμέσως $$\text{AM} \ge \text{GM} \ge \text{HM},$$ με ισότητα τότε και μόνο τότε όταν όλοι οι όροι είναι ίσοι.