Πώς Υπολογίζεται το Εμβαδόν Τραπεζίου μόνο από τις Τέσσερις Πλευρές

Κανονικά, για να βρούμε το εμβαδόν ενός τραπεζίου χρειαζόμαστε το ύψος. Ο γνωστός τύπος είναι:

όπου $a$ και $c$ είναι οι παράλληλες πλευρές και $h$ το ύψος.

Αλλά τι γίνεται αν γνωρίζουμε μόνο τα μήκη των τεσσάρων πλευρών (ας τα ονομάσουμε $a, b, c, d$, με τις $a, c$ παράλληλες), χωρίς καθόλου γωνίες ή ύψος;

---

Απάντηση

Σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιούμε μια γενίκευση του τύπου του Brahmagupta (που ισχύει για τετράπλευρα). Ο τύπος για το τραπέζιο είναι:

$$E=\frac{a+c}{\mathrm{\mid }a-c\mathrm{\mid }}\cdot \sqrt{(s-a)(s-c)(s-a-b)(s-a-d)}$$

όπου:

• $a, c$ = οι δύο παράλληλες πλευρές

• $b, d$ = τα άλλα δύο σκέλη

• $s = \tfrac{a+b+c+d}{2}$ είναι το ημιπερίμετρο του τραπεζίου

---

Παράδειγμα

Έστω τραπέζιο με πλευρές:

$$a=10,b=8,c=6,d=7.$$

Τότε η ημιπερίμετρος είναι:

$$s=\frac{10+8+6+7}{2}=\mathrm{15.5.}$$

Και το εμβαδόν:

$$E=\frac{10+6}{\mathrm{\mid }10-6\mathrm{\mid }}\cdot \sqrt{(15.5-10)(15.5-6)(15.5-18)(15.5-17)}\mathrm{.}$$

Με αριθμητική απλοποίηση βρίσκουμε το τελικό εμβαδόν.