Strange Mathematics: The Triangle That Loses Area

Παράξενα Μαθηματικά: Το Τρίγωνο που Χάνει Εμβαδό

Τέσσερα επίπεδα γεωμετρικά κομμάτια χρησιμοποιούνται για να σχηματίσουν ένα τρίγωνο. Στην πρώτη διάταξη, τα κομμάτια τοποθετούνται έτσι ώστε το σχήμα που προκύπτει να φαίνεται ότι έχει εμβαδό 64 τετραγωνικές μονάδες.

Στη δεύτερη διάταξη, χρησιμοποιώντας ακριβώς τα ίδια κομμάτια, χωρίς καμία παραμόρφωση, επικάλυψη ή αφαίρεση υλικού, τα κομμάτια αναδιατάσσονται και σχηματίζουν ξανά ένα τρίγωνο, το οποίο αυτή τη φορά φαίνεται να έχει εμβαδό 65 τετραγωνικές μονάδες.

Αφού τα κομμάτια είναι τα ίδια και τίποτα δεν έχει προστεθεί ή αφαιρεθεί, προκύπτει ένα προφανές παράδοξο: από πού εμφανίζεται το επιπλέον τετραγωνικό;

🔒 Δες τη λύση

Το σφάλμα δεν βρίσκεται στον υπολογισμό του εμβαδού, αλλά στην υπόθεση ότι και στις δύο διατάξεις σχηματίζεται πραγματικά τρίγωνο. Η «υποτείνουσα» του σχήματος δεν είναι ευθεία γραμμή, αλλά αποτελείται από δύο τμήματα με ελαφρώς διαφορετικές κλίσεις.

Στη μία διάταξη δημιουργείται ένα εξαιρετικά λεπτό κυρτό σχήμα, ενώ στην άλλη ένα αντίστοιχα λεπτό κοίλο σχήμα. Η διαφορά αυτή, αν και σχεδόν αόρατη, αντιστοιχεί ακριβώς σε εμβαδό ίσο με μία τετραγωνική μονάδα.

Το «χαμένο» ή «επιπλέον» εμβαδό δεν είναι πραγματικό· προκύπτει από τη λανθασμένη εντύπωση ότι και στις δύο περιπτώσεις έχουμε το ίδιο γεωμετρικό σχήμα.

Strange Mathematics: The Triangle That Loses Area

Four planar geometric pieces are used to form a triangle. In the first arrangement, the resulting figure appears to have an area of 64 square units.

In a second arrangement, using exactly the same pieces, with no distortion, overlap, or removal of material, the pieces are rearranged to form what again looks like a triangle, this time with an apparent area of 65 square units.

Since the pieces are identical in both constructions, a paradox arises: where does the extra square unit come from?

🔒 View the solution

The error does not lie in the area calculation, but in the assumption that both figures are true triangles. The “hypotenuse” is not a straight line, but is made of two segments with slightly different slopes.

In one arrangement this creates a very thin convex shape, while in the other a correspondingly thin concave shape appears. Although the difference is almost imperceptible, it accounts exactly for one square unit of area.

The missing or extra area is not real; it results from the false impression that the two figures are geometrically identical.

---

This post is part of the series Strange Mathematics: Problems That Defy Intuition, featuring counterintuitive and non-trivial mathematical problems.