ΒΜΟ 2026 – Τα Θέματα της 43ης Βαλκανικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας

BALKAN MATHEMATICAL OLYMPIAD 2026

Τα Θέματα της 43ης Βαλκανικής Μαθηματικής Ολυμπιάδας

Θεσσαλονίκη 2026 • Ολυμπιακά Μαθηματικά Υψηλού Επιπέδου

Η 43η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα (BMO 2026) πραγματοποιείται στη Θεσσαλονίκη και συγκεντρώνει κορυφαίους μαθητές από πολλές χώρες των Βαλκανίων και της Ευρώπης.

Τα θέματα της διοργάνωσης κινούνται στο κλασικό ολυμπιακό επίπεδο και περιλαμβάνουν:

Άλγεβρα

Γεωμετρία

Συνδυαστική

Θεωρία Αριθμών

Official BMO 2026 Website

Πρόβλημα 1 — Αριστοτέλεια Σύνολα

Ένα σύνολο θετικών πραγματικών αριθμών \(S\) ονομάζεται Αριστοτέλειο αν για οποιαδήποτε \(x,y,z\in S\) με

\[ x<y<z \]

ισχύει ότι

\[ \frac{z-x}{y}\in S. \]

Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι \(n\ge4\) για τους οποίους υπάρχει Αριστοτέλειο σύνολο με ακριβώς \(n\) στοιχεία.

Πρόβλημα 2 — Περιστροφή Ντόμινο

Ένας πίνακας \(2n\times2n\) καλύπτεται πλήρως με ντόμινο διαστάσεων \(2\times1\) και \(1\times2\).

Το να «περιστρέψουμε» ένα ντόμινο σημαίνει ότι επιλέγουμε ένα από τα δύο τετραγωνίδια του και περιστρέφουμε το ντόμινο κατά

\[ 90^\circ,\quad -90^\circ,\quad \text{ή}\quad 180^\circ. \]

Να αποδειχθεί ότι είναι πάντοτε δυνατό να περιστραφούν ταυτόχρονα όλα τα ντόμινο έτσι ώστε να συνεχίσουν να καλύπτουν πλήρως τον πίνακα.

Πρόβλημα 3 — Παραλληλόγραμμο και Εφαπτόμενοι Κύκλοι

Έστω \(ABCD\) παραλληλόγραμμο με

\[ \angle DAB<90^\circ \quad \text{και} \quad AB<AD. \]

Έστω \(H\) το ορθόκεντρο του τριγώνου \(\triangle BCD\) και \(H'\) η συμμετρική εικόνα του \(H\) ως προς τη διαγώνιο \(BD\).

Η ευθεία \(AH\) τέμνει τις ευθείες \(BD\), \(CD\) και \(BC\) στα σημεία \(E,F,G\) αντίστοιχα.

Να αποδειχθεί ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων

\[ \triangle HEH' \quad \text{και} \quad \triangle CFG \]

εφάπτονται.

Πρόβλημα 4 — Μετασχηματισμός Αριθμών

Έστω ακέραιος \(n\ge2\). Αρχικά, ο αριθμός \(1\) είναι γραμμένος \(n\) φορές σε έναν πίνακα.

Μια πράξη συνίσταται στην επιλογή δύο αριθμών \(a,b\) και στην αντικατάστασή τους από τους αριθμούς

\[ \frac{(a-b)^2}{a+b} \quad \text{και} \quad \frac{4ab}{a+b}. \]

Να προσδιοριστούν όλοι οι ακέραιοι \(n\) για τους οποίους είναι δυνατόν, μετά από πεπερασμένο αριθμό πράξεων, να εμφανιστεί ο αριθμός \(n\) στον πίνακα.

Προβλήματα σε Όλες τις Γλώσσες

Το επίσημο PDF της διοργάνωσης περιλαμβάνει τα προβλήματα της BMO 2026 μεταφρασμένα σε πολλές γλώσσες.

Άνοιγμα PDF — Problems in All Languages

EisatoponAI

Your Daily Experience of Math Adventures

Algebra • Geometry • IMO • BMO • Olympiad Mathematics