Ανισότητα Ολοκληρωμάτων με Μονοτονία – Ωραίο Πρόβλημα Ανάλυσης

📘 Πρόβλημα Ανάλυσης

Έστω συνάρτηση \( f : [0,1] \to (0,+\infty) \) συνεχής και γνησίως φθίνουσα.

Να αποδειχθεί ότι:

\[ \frac{\int_0^1 x f^2(x)\,dx}{\int_0^1 x f(x)\,dx} \;\le\; \frac{\int_0^1 f^2(x)\,dx}{\int_0^1 f(x)\,dx}. \]

💡 Υπόδειξη

• Χρησιμοποίησε ότι η \( f \) είναι φθίνουσα.
• Σκέψου εφαρμογή της ανισότητας Chebyshev.
• Σύγκρινε τα ολοκληρώματα ως «σταθμισμένους μέσους όρους».

🚀 EisatoponAI — Μαθηματικά υψηλού επιπέδου

Ανακάλυψε περισσότερα:

• Ανισότητες ολοκληρωμάτων
• Chebyshev, Jensen, Hölder
• Θέματα διαγωνισμών και Ολυμπιάδων

🌐 www.eisatopon.gr

Your Daily Experience of Math Adventures