Προσομοίωση Μαθηματικών Γ' Λυκείου: Από τη Σύνθεση Συναρτήσεων στο Ορισμένο Ολοκλήρωμα

Έστω συνάρτηση \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύουν:

• \( f'(x) > 0 \) για κάθε \( x \in \mathbb{R} \),
• \( f'(1) = 1 \)

και επιπλέον δίνονται οι συναρτήσεις \( h(x) = \dfrac{x^4}{4} - 6x^2 + x + 1, x \in \mathbb{R} \) και \( g(x) = (f \circ h)(x) - 1, x \in \mathbb{R} \).

Δ1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της \( f \) στο σημείο \( A(1, f(1)) \) εφάπτεται και της γραφικής παράστασης της \( g \) στο σημείο \( B(0, g(0)) \).

Μονάδες 5

Δ2. Να δείξετε ότι η συνάρτηση \( g \) έχει δύο θέσεις τοπικού ελαχίστου και μία θέση τοπικού μεγίστου.

Μονάδες 7

Δ3. Να λύσετε την εξίσωση \( g(x) = g(0) \) στο διάστημα \( (-2, 0) \).

Μονάδες 6

Δ4. Αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση \( g \) είναι κοίλη στο διάστημα \( [-2, 0] \), να αποδείξετε ότι: \[ \int_{-21}^{1} f(x) dx < 22f(1) - \frac{138}{5} \]

Μονάδες 7

Πηγή: Bellos Nikos