Ανισότητες με Μεταθέσεις: Δύο Δύσκολα Προβλήματα Ολυμπιακού Επιπέδου

📘 Πρόβλημα Ανισοτήτων

Μεταθέσεις τριών θετικών αριθμών

Έστω \(a, b, c\) θετικοί πραγματικοί αριθμοί.

α)

Να βρεθούν όλες οι μεταθέσεις \((x, y, z)\) του \((a, b, c)\) για τις οποίες ισχύει:

\[ \frac{x y}{b^2 + c a} + \frac{y z}{c^2 + a b} + \frac{z x}{a^2 + b c} \leq 1 \]

β)

Να αποδειχθεί ότι για κάθε μετάθεση \((x, y, z)\) του \((a, b, c)\) ισχύει:

\[ x \sqrt{\frac{b c + 2 a^2}{b (c + 2 a)^3}} + y \sqrt{\frac{c a + 2 b^2}{c (a + 2 b)^3}} + z \sqrt{\frac{a b + 2 c^2}{a (b + 2 c)^3}} \geq 1 \]

🚀 EisatoponAI

Αν σου αρέσουν τέτοιου επιπέδου προβλήματα:

• Ανισότητες και συμμετρία
• Ολυμπιακά θέματα
• Προχωρημένη άλγεβρα

🌐 www.eisatopon.gr

Your Daily Experience of Math Adventures