Απόδειξη Απείρου Ολοκληρώματος – Προχωρημένο Πρόβλημα Ανάλυσης με Παράγωγο

📘 Πρόβλημα Ανάλυσης

Έστω συνάρτηση \( f : (1,+\infty) \to \mathbb{R} \) συνεχώς παραγωγίσιμη, τέτοια ώστε:

• \( f(x) \le x^2 \log(x) \)
• \( f'(x) > 0 \) για κάθε \( x \in (1,+\infty) \)

Να αποδειχθεί ότι:

\[ \int_1^{+\infty} \frac{1}{f'(x)}\,dx = +\infty. \]

💡 Υπόδειξη

• Η συνθήκη \( f'(x) > 0 \) σημαίνει ότι η \( f \) είναι γνησίως αύξουσα.
• Σκέψου σύγκριση με γνωστά ολοκληρώματα.
• Χρησιμοποίησε εκτιμήσεις μέσω της σχέσης \( f(x) \le x^2 \log x \).

🚀 EisatoponAI — Ανάλυση σε βάθος

Ανακάλυψε περισσότερα προβλήματα:

• Αποκλίσεις ολοκληρωμάτων
• Μονοτονία και φραγές
• Τεχνικές σύγκρισης

🌐 www.eisatopon.gr

Your Daily Experience of Math Adventures