ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1η
| Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της πλευράς ΑΒ παίρνουμε σημείο Ε, ώστε ΒΕ=ΑΒ και στην προέκταση της ΑΓ παίρνουμε σημείο Ζ, ώστε ΓΖ=ΑΓ. Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου και ΕΗ, ΖΘ τα κάθετα τμήματα προς την ευθεία ΒΓ, τότε: (i) να συγκριθούν τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΕΒΗ, καθώς και τα ΑΓΔ και ΖΓΘ, (ii) να αποδειχθεί ότι ΕΗ = ΖΘ. Λύση |
(i) Τα τρίγωνα $ΑΒΔ$ και $ΕΒΗ$ είναι ορθογώνια $\angle{Δ} = \angle{Η} = 90°$ και έχουν $ΑΒ = ΒΕ$ (από υπόθεση) και $\angle{Β_1} = \angle{Β_2}$ (κατακορυφήν). Άρα, είναι ίσα. Όμοια και τα τρίγωνα $ΑΓΔ$ και $ΖΓΘ$ είναι ίσα γιατί έχουν $\angle{Δ} = \angle{Θ} = 90°$, $ΑΓ = ΓΖ$ και $\angle{Γ_1} = \angle{Γ_2}$.
(ii) Από την ισότητα των τριγώνων $ΑΒΔ$ και $ΕΒΗ$ προκύπτει ότι $ΕΗ=ΑΔ$. Όμοια από την άλλη ισότητα των τριγώνων προκύπτει $ΖΘ = ΑΔ$. Επομένως $ΕΗ = ΖΘ$.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2η
| Θεωρούμε δύο ίσους κύκλους με κέντρα Κ, Λ και από το μέσο Μ του ΚΛ ευθεία ε που τέμνει τους κύκλους στα σημεία Α, Β και Γ, Δ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ΑΒ = ΓΔ. Απόδειξη |
Επειδή τα τμήματα $ΑΒ$ και $ΓΔ$ είναι χορδές ίσων κύκλων, για να είναι $ΑΒ = ΓΔ$ αρκεί τα αποστήματά τους $ΚΕ$ και $ΛΖ$, αντίστοιχα, να είναι ίσα.
Τα τρίγωνα $ΕΜΚ$ και $ΖΜΛ$ είναι ορθογώνια $\angle{Ε} = \angle{Ζ} = 90°$ και έχουν $ΚΜ = ΜΛ$, γιατί το $Μ$ είναι μέσο του $ΚΛ$ και $\angle{Μ_1}= \angle{Μ_2}$ ως κατακορυφήν. Άρα είναι ίσα, οπότε $ΚΕ = ΛΖ$.
Από το σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας της Α΄ - Β΄ Λυκείου.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου