Ζέβρα-Ορθογώνιο με Διαίρεση Διαγωνίου

Σε ένα ορθογώνιο τύπου ζέβρα με πλευρές μήκους 14 και 8, η διαγώνιος χωρίζεται σε επτά ίσου μήκους τμήματα. 

Να βρεθεί το εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης περιοχής;

Πεντάγωνο με Δοσμένες Γωνίες και Μήκη Πλευρών

Στο ακόλουθο σχήμα δίνεται ένα πεντάγωνο με δοσμένες κάποιες γωνίες και μήκη πλευρών. Να υπολογιστεί το άθροισμα a+b.

Μια Παράσταση με Ρίζες και π ✍️

Με τι ισούται η παράσταση:

$$\sqrt{\frac{\pi +\sqrt{{\pi }^2-\pi }}{2}}+\sqrt{\frac{\pi -\sqrt{{\pi }^2-\pi }}{2}}$$

Επιλογές:
A. $\pi$
B. $\sqrt{\pi}$
C. $\sqrt{\pi^2 - \pi}$
D. $\pi - \sqrt{\pi}$
E. $\sqrt{\pi + \sqrt{\pi}}$

Τρίγωνο σε ρόμβο – το κριτήριο των 60°

Στον ρόμβο ABCD, που αποτελείται από δύο ισόπλευρα τρίγωνα, είναι εγγεγραμμένο το τρίγωνο BMN όπως στο σχήμα. 

Να αποδείξετε ότι αν η τιμή τουλάχιστον μίας από τις γωνίες του τριγώνου BMN είναι ίση με 60°, τότε το BMN είναι ισόπλευρο.

Όταν το λάθος… βγαίνει σωστό!

Στο μάθημα των Μαθηματικών, ο Άλμπρεχτ έπρεπε να αναπτύξει την παράσταση $(a+2b−3)^2$. Το αποτέλεσμά του ήταν $a^2+4b^2−9$.

Η δασκάλα του είπε: «Αυτό δεν είναι σωστό∙ δοκίμασε να αντικαταστήσεις θετικούς ακέραιους για τα aaa και bbb.» Ο Άλμπρεχτ το έκανε και, προς έκπληξη όλων, το αποτέλεσμα αποδείχθηκε σωστό.

Σύγκριση αριθμού με το τετράγωνό του

Για πραγματικό αριθμό x, ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή;

(A) Αν $x<1$, τότε $x^{2}<x$.
(B) Αν $x^{2}>0$, τότε $x>0$.
(C) Αν $x^{2}>x$, τότε $x>0$.
(D) Αν $x^{2}>x$, τότε $x<0$.
(E) Αν $x<0$, τότε $x^{2}>x$.

Εξίσωση με διαδοχικές ριζικές δυνάμεις

Υπάρχουν ακέραιοι $a,b,c>1$ τέτοιοι ώστε

$$\sqrt[a]{\,N\sqrt[b]{\,N\sqrt[c]{\,N\,}\,}\,}=\sqrt[36]{N^{25}}$$

να ισχύει για κάθε $N\neq 1$. Ποια είναι η τιμή του $b$;

Επιλογές:

(A) 2       (B) 3       (C) 4       (D) 5      (E) 6

Απλοποίηση Ριζικής Παράστασης με Ρητοποίηση

Να γίνει ρητός ο παρονομαστής του κλάσματος:

$$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$

Επιλογές:

$$\begin{aligned} \mathrm{(A)}\ & \sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5} \\ \mathrm{(B)}\ & 4-\sqrt{2}-\sqrt{3} \\ \mathrm{(C)}\ & \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}-5 \\ \mathrm{(D)}\ & \tfrac12\!\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{3}\right) \\ \mathrm{(E)}\ & \tfrac13\!\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{2}\right) \end{aligned}$$

Σχέση Μήκους Τόξου με Ρίζες Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Στο μέσο του ευθύγραμμου τμήματος AB, το οποίο έχει μήκος $p$, υψώνεται κάθετο τμήμα MR μήκους $q$. Από το σημείο R γράφεται τόξο με ακτίνα ίση με $\dfrac{AB}{2}$​, το οποίο τέμνει το AB στο σημείο T.

Να βρείτε τη δευτεροβάθμια εξίσωση της οποίας ρίζες είναι τα μήκη $AT$ και $TB$.

$$\boxed{ \begin{aligned} \textbf{(A)}\ &x^2 + px + q^2 = 0 \\ \textbf{(B)}\ &x^2 - px + q^2 = 0 \\ \textbf{(C)}\ &x^2 + px - q^2 = 0 \\ \textbf{(D)}\ &x^2 - px - q^2 = 0 \\ \textbf{(E)}\ &x^2 - px + q = 0 \end{aligned}}$$

Ιδιότητες Παραλληλογράμμου και Μεσοκαθέτων: Πόσες Προτάσεις Είναι Αληθείς; ✅

 Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο P. 

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς για κάθε παραλληλόγραμμο;

i. Οι μεσοκάθετοι των πλευρών του $\mathcal{P}$ τέμνονται όλες σε τουλάχιστον ένα κοινό σημείο.
ii. Οι μεσοκάθετοι των πλευρών του $\mathcal{P}$ είναι όλες διαφορετικές.

Σύγκριση διαφορών τετραγωνικών ριζών

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση:

(a) $\sqrt{2016}-\sqrt{2015}<\sqrt{2017}-\sqrt{2016}<(2\sqrt{2016})^{-1}$

(b) $\sqrt{2017}-\sqrt{2016}<\sqrt{2016}-\sqrt{2015}<(2\sqrt{2016})^{-1}$

Γεωμετρικά στοιχεία ⇒ αλγεβρικός συντελεστής b= ?

Η παραβολή 

$y=ax^2+bx+c$

έχει κορυφή (p,p) και τομή με τον άξονα y στο σημείο (0,−p), όπου p≠0. 

Να βρεθεί ο συντελεστής b.

$$\text{(A) }-p\text{(B) }0\text{(C) }2\text{(D) }4\text{(E) }p$$

Συνάντηση Αετού και Περιστεριού

Παρακάτω δίνονται πληροφορίες σχετικά με ένα περιστέρι και έναν αετό.

• Η συνάρτηση ύψους (h) του περιστεριού σε σχέση με τον χρόνο (t) είναι h=∣t−2∣+3t.
• Η συνάρτηση ύψους (h) του αετού σε σχέση με τον χρόνο (t) είναι h=2t+4.

Ιδιότητες των Ριζών μιας Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Αν $r_1$ και $r_2$ είναι οι διακριτές πραγματικές ρίζες του 

$x^2+px+8=0$

τότε πρέπει να ισχύει ότι:

A) $|r_1+r_2|>4\sqrt{2}$

B) $|r_1|>3$ ή $|r_2| >3$

C) $|r_1|>2$ και $|r_2|>2$

D) $r_1<0$ και $r_2<0$

E) $|r_1+r_2|<4\sqrt{2}$

Συνθήκη για Ίσες Πραγματικές Ρίζες

Έστω $a,b,c,d$ τέσσερις μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε να ισχύει 

$(d+a−b)^2+(d+b−c)^2=0.$

Αν οι ρίζες της εξίσωσης 

$a(b−c)x^2+b(c−a)x+c(a−b)=0$

είναι πραγματικές και ίσες, τότε τα $a,b,c\; \epsilon$ίναι:

α) ίσα 

β) δεν είναι ίσα 

γ) είναι μηδέν 

δ) κανένα από τα παραπάνω

Θέσεις Φίλων στον Αριθμητικό Άξονα

Ο Κωνσταντίνος, ο Μάρκος και ο Νίκος είναι τρεις φίλοι των οποίων οι θέσεις στον αριθμητικό άξονα είναι k, m και n αντίστοιχα.

Δίνεται ότι 

∣k−m∣=m−k και ∣n−m∣=n−m.

Σύμφωνα με αυτά, ποια από τις παρακάτω μπορεί να είναι η τιμή της έκφρασης 

∣n−k∣+∣m+n∣ ;

Επιλογές:

A) −k−m     B) −m+n      C) k−m−n       D) 2n+m+k        E) m−n−k

Όταν οι δυνάμεις συναντούν τη διαφορά

Έστω $a, b, c, d$ είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί, τέτοιοι ώστε

• $a^5 = b^4$
• $c^3 = d^2$
• $c - a = 19$

Nα βρεθεί η διαφορά $$Κ=d - b.$$

Εξίσωση χωρίς λύση

Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις ΔΕΝ έχει λύση; 

$\text{(A)}\:(x+7)^2=0$ 

$\text{(B)}\:|-3x|+5=0$ 

$\text{(C)}\:\sqrt{-x}-2=0$ 

$\text{(D)}\:\sqrt{x}-8=0$ 

$\text{(E)}\:|-3x|-4=0$

Παράλληλες στη Βάση Ορθογωνίου Τριγώνου

Η υποτείνουσα AC ενός ορθογωνίου τριγώνου ABC χωρίζεται σε 8 ίσα μέρη. Από τα σημεία διαίρεσης φέρνουμε ευθείες παράλληλες στην BC, οι οποίες τέμνουν την πλευρά AB.

Αν BC =10, να βρεθεί το άθροισμα των μηκών των επτά παραλλήλων: 

$\textbf{(A)}\ \text{με τα δεδομένα αυτά δεν μπορούμε} \qquad \textbf{(B)}\ \text{is }{33}\qquad \textbf{(C)}\ \text{is }{34}$

$\textbf{(D)}\ \text{is }{35}\qquad\textbf{(E)}\ \text{is }{45}$

✨ Μια Παράσταση με Εκπλήξεις!

Έστω 

$u = (\sqrt{5} - 2)^{1/3} - (\sqrt{5} + 2)^{1/3}$ 

και 

$v = (\sqrt{189} - 8)^{1/3} - (\sqrt{189} + 8)^{1/3}$.

Για κάθε θετικό ακέραιο αριθμό $n$, η τιμή της παράστασης 

$u^n + v^{n+1} = ?$

ισούται με: 

a) -1 

b) 0 

c) 1 

d) 2