▪ $[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$

Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f: [0,1]\rightarrow\mathbb{R}$, τέτοια ώστε 

$f(0)=f(1) $, $ \int_0^1f(x)dx=0 $ και $ f^{\prime}(x)\neq 1\ ,\ (\forall)x\in [0,1]$.

Να αποδειχθεί ότι:

1) η συνάρτηση $g: [0,1]\rightarrow\mathbb{R}\ ,\ g(x)=f(x)-x$, είναι γνησίως αύξουσα.

2) για κάθε ακέραιο αριθμό $n\ge 1$, ισχύει

$\left|\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)\right|<\frac{1}{2}$.

Romania District Olympiad 2010

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com