Ποσοδεικτικές Προτάσεις & Θέματα Σωστό–Λάθος: Πρακτικός Οδηγός

Στις σχολικές και πανελλαδικές εξετάσεις συναντάμε συχνά θέματα τύπου Σωστό–Λάθος. Για να έχουν μονοσήμαντη απάντηση, πρέπει η εκφώνηση να είναι πρόταση (με καθορισμένη τιμή αλήθειας) και όχι απλός προτασιακός τύπος με ελεύθερες μεταβλητές. Κλειδί σε αυτό είναι οι ποσοδείκτες (για κάθε, υπάρχει).

1) Τι είναι Πρόταση στη Μαθηματική Λογική;

Πρόταση είναι κάθε έκφραση με πλήρες νόημα που μπορεί να χαρακτηριστεί αληθής ή ψευδής (ακριβώς με έναν τρόπο). Εκφράσεις χωρίς νόημα δεν χαρακτηρίζονται ως αληθείς/ψευδείς.

Παράδειγμα: «Ο 7 είναι πρώτος» ✓ (πρόταση) · «x είναι άρτιος» ✗ (όχι πρόταση, είναι προτασιακός τύπος με ελεύθερο x).

---

2) Λογικοί σύνδεσμοι & Πίνακες Αλήθειας

• Άρνηση: ¬p (όχι p)
• Διάζευξη: p ∨ q (p ή q)
• Σύζευξη: p ∧ q (p και q)
• Συνεπαγωγή: p ⇒ q (αν p, τότε q)
• Ισοδυναμία: p ⇔ q (p αν και μόνο αν q)

p	q	p ∨ q	p ∧ q	p ⇒ q	p ⇔ q
Α	Α	Α	Α	Α	Α
Α	Ψ	Α	Ψ	Ψ	Ψ
Ψ	Α	Α	Ψ	Α	Ψ
Ψ	Ψ	Ψ	Ψ	Α	Α

Σημείωση: Αν το p είναι ψευδές, τότε το p ⇒ q είναι αληθές («κενή αλήθεια»).

---

3) Προτασιακοί τύποι & Σύνολο Αναφοράς

Προτασιακός τύπος p(x) είναι έκφραση με μεταβλητές (π.χ. x) που γίνεται πρόταση μόνο όταν δοθούν τιμές από ένα σύνολο αναφοράς Ω (π.χ. «x είναι άρτιος» με x∈ℕ). Το σύνολο αλήθειας του p(x) είναι {x∈Ω : p(x) αληθής}.

---

4) Ποσοδείκτες (Καθολικός & Υπαρξιακός)

• Καθολικός: ∀x∈Ω, p(x) — «για κάθε x»
• Υπαρξιακός: ∃x∈Ω, p(x) — «υπάρχει (τουλάχιστον ένα) x»

Κρίσιμο: Η εναλλαγή της σειράς των ποσοδεικτών αλλάζει (συχνά) την αλήθεια:
∀x ∃y P(x,y) συνήθως δεν ισοδυναμεί με ∃y ∀x P(x,y).

Αρνήσεις ποσοδεικτικών προτάσεων

• Νόμοι De Morgan για ποσοδείκτες:
  ¬(∀x P(x)) ⇔ ∃x ¬P(x)
¬(∃x P(x)) ⇔ ∀x ¬P(x)

---

5) Πώς φτιάχνουμε σωστά θέματα Σωστό–Λάθος

Η εκφώνηση πρέπει να είναι πρόταση (όχι προτασιακός τύπος). Δεσμεύουμε όλες τις μεταβλητές με κατάλληλους ποσοδείκτες ή με σαφείς προϋποθέσεις.

Κακή διατύπωση (όχι πρόταση):
«Αν z=α+βi με α,β∈ℂ, τότε |z|=√(α²+β²)».
Πρόβλημα: Η «ρίζα» ορίζεται για α,β πραγματικούς. Με α,β γενικά μιγαδικούς, η φράση δεν έχει σαφές νόημα.

Σωστή διατύπωση (πρόταση):
«Για κάθε α,β∈ℝ και z=α+βi, ισχύει |z|=√(α²+β²)». Σωστό.

Κακή διατύπωση: «(f·g)'=f'·g'+f·g'». — Ποιες f,g; πού ορίζονται/παραγωγίζονται;
Σωστή: «Για κάθε παραγωγίσιμες f,g στο Α⊆ℝ, ισχύει (f·g)'=f'·g+f·g'». Σωστό.

ΠΡΟΣΟΧΗ στα σύμβολα στην πρόζα: Τα ⇒, ⇔, ∀, ∃ δεν είναι «στενογραφία» για κείμενο. Χρησιμοποιούνται σε συμβολικές γραφές, όχι ως συνδετικά λόγου («Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές ⇒ ...» ✗).

---

6) Συχνά λάθη & Παγίδες

• Ελεύθερες μεταβλητές σε Σ/Λ: δίνουν τύπο, όχι πρόταση → άρα δεν υπάρχει μονοσήμαντη απάντηση.
• Αλλαγή σειράς ποσοδεικτών: ∀x ∃y ≠ ∃y ∀x.
• Επιβεβαίωση επακόλουθου (από p⇒q και q να συμπεραίνουμε p).
• Άρνηση προκείμενης (από p⇒q και ¬p να συμπεραίνουμε ¬q).
• Χρήση συμβόλων αντί κειμένου σε εκφωνήσεις.

---

7) Μικρό φυλλάδιο (Cheat Sheet)

• Contrapositive: p⇒q ⇔ ¬q⇒¬p (ισοδύναμο).
• Άρνηση συνεπαγωγής: ¬(p⇒q) ⇔ p ∧ ¬q.
• Ποσοδείκτες: ¬(∀x P) ⇔ ∃x ¬P, ¬(∃x P) ⇔ ∀x ¬P.

---

8) Παραδείγματα Σωστό–Λάθος (με σωστή δέσμευση μεταβλητών)

1. Αν f είναι συνεχής στο [α,β], τότε f([α,β]) είναι κλειστό διάστημα.
   Απάντηση: Σωστό (Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών + Μέγιστο/Ελάχιστο Weierstrass).
2. Για κάθε α,β∈ℝ και z=α+βi, ισχύει |z|=√(α²+β²).
   Απάντηση: Σωστό.
3. Για κάθε παραγωγίσιμες f,g στο Α⊆ℝ, ισχύει (f·g)'=f'·g+f·g'.
   Απάντηση: Σωστό.
4. Υπάρχει x∈ℝ ώστε για κάθε y∈ℝ να ισχύει x<y.
   Απάντηση: Λάθος (η τάξη είναι μη φραγμένη και προς τις δύο κατευθύνσεις).
5. Για κάθε x∈ℝ, υπάρχει y∈ℝ με x<y.
   Απάντηση: Σωστό (π.χ. y=x+1).

---

9) Παραδείγματα «Κακή» → «Καλή» διατύπωση

• Κακή: «Σ/Λ: Αν α|βγ, τότε α|β ή α|γ.»
  Καλή: «Σ/Λ: Για κάθε α,β,γ∈ℤ, αν α|βγ, τότε (α|β) ή (α|γ).»
  Απάντηση: Λάθος (αντίπαραδειγμα: α=4, β=2, γ=6).
• Κακή: «Σ/Λ: Η εικόνα ανοικτού διαστήματος μέσω συνεχούς συνάρτησης είναι ανοικτό διάστημα.»
  Καλή: «Σ/Λ: Υπάρχει συνεχής μη σταθερή f:ℝ→ℝ και ανοικτό Δ ώστε f(Δ) να μην είναι ανοικτό.»
  Απάντηση: Σωστό (αντιπαράδειγμα με κατάλληλη κομματιαστή).

---

10) Οδηγία αξιολόγησης (πρόταση)

Στις εκφωνήσεις τύπου Σωστό–Λάθος να ζητείται: «Με δικαιολόγηση για το ‘Σωστό’ και αντιπαράδειγμα για το ‘Λάθος’». Έτσι ελέγχεται ουσιαστικά η κατανόηση.

---

11) Μικρό κουίζ

1. Σ/Λ: ¬(∀x P(x)) ⇔ ∀x ¬P(x)
2. Σ/Λ: Αν p⇒q και q αληθές, τότε απαραίτητα p αληθές.
3. Σ/Λ: ∀x∈ℝ ∃y∈ℝ: x+y=0.
4. Σ/Λ: Αν f γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη, τότε f'(x)≥0 για όλα τα εσωτερικά σημεία.

Απαντήσεις (πάτησε για εμφάνιση)

1. Λάθος · σωστό είναι ¬(∀x P) ⇔ ∃x ¬P.
2. Λάθος (σφάλμα επιβεβαίωσης επακόλουθου).
3. Σωστό (πάρε y=−x).
4. Σωστό (και μάλιστα f'(x)≥0, με δυνατότητα =0 σε σημεία).

---

Σύνοψη: Για σωστά θέματα Σωστό–Λάθος, δέσμευσε όλες τις μεταβλητές με ποσοδείκτες, γράψε καθαρές προτάσεις, χρησιμοποίησε σωστά τους λογικούς συνδέσμους και ζήτησε αιτιολόγηση/αντιπαράδειγμα.