A Strange Mathematical Hotel With Infinite Rooms That Always Finds Space

Το ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια που βρίσκει πάντα χώρο

Φαντάσου ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια. Κάθε δωμάτιο έχει έναν αριθμό: 1, 2, 3, 4, και ούτω καθεξής. Το παράξενο είναι ότι το ξενοδοχείο είναι πλήρες: κάθε δωμάτιο έχει ήδη έναν επισκέπτη.

Κι όμως, όταν φτάνει ένας νέος επισκέπτης, ο υπεύθυνος λέει με σιγουριά: «Φυσικά και έχουμε δωμάτιο».

Πώς γίνεται αυτό;

Ο υπεύθυνος ζητά από κάθε επισκέπτη του δωματίου n να μετακινηθεί στο δωμάτιο n + 1.

Έτσι:

• ο επισκέπτης του 1 πάει στο 2,
• του 2 στο 3,
• του 3 στο 4,
• και ούτω καθεξής.

Το δωμάτιο 1 αδειάζει — και ο νέος επισκέπτης μπαίνει.

Ένα πλήρες ξενοδοχείο βρήκε χώρο.

Και αν έρθουν άπειροι νέοι επισκέπτες;

Το παράδοξο γίνεται ακόμη πιο εντυπωσιακό. Ο υπεύθυνος ζητά από τον επισκέπτη του δωματίου n να μετακινηθεί στο δωμάτιο 2n.

Έτσι αδειάζουν όλα τα περιττά δωμάτια: 1, 3, 5, 7, … και χωρούν άπειροι νέοι επισκέπτες.

Τι μας δείχνει αυτό το παράδειγμα;

Στον κόσμο των πεπερασμένων αριθμών, το «γεμάτο» σημαίνει ότι δεν υπάρχει χώρος. Στον κόσμο του απείρου, όμως, οι κανόνες αλλάζουν.

Αυτό το νοητικό πείραμα δεν περιγράφει ένα πραγματικό ξενοδοχείο. Περιγράφει τη συμπεριφορά των άπειρων συνόλων — και δείχνει γιατί το άπειρο δεν λειτουργεί όπως η καθημερινή μας διαίσθηση.

Το άπειρο δεν είναι απλώς «πολύ μεγάλο».

The Infinite Hotel That Always Finds Room

Imagine a hotel with infinitely many rooms, numbered 1, 2, 3, 4, and so on. Every room is occupied. The hotel is completely full.

And yet, when a new guest arrives, the manager confidently says, “Of course we have room.”

How is this possible?

The manager asks each guest in room n to move to room n + 1.

As a result:

• the guest in room 1 moves to 2,
• the guest in room 2 moves to 3,
• the guest in room 3 moves to 4,
• and so on.

Room 1 becomes empty, and the new guest moves in.

A full hotel has found space.

What if infinitely many guests arrive?

The paradox becomes even more striking. The manager asks the guest in room n to move to room 2n.

This frees all the odd-numbered rooms: 1, 3, 5, 7, … allowing infinitely many new guests to check in.

What does this example show?

In the finite world, “full” means no space remains. In the infinite world, the rules are different.

This thought experiment does not describe a real hotel. It describes how infinite sets behave — and why infinity does not follow everyday intuition.

Infinity is not just “very large.”