Δείτε με ένα απλό γεωμετρικό σχήμα γιατί το τετράγωνο του αθροίσματος (a+b)² ισούται με a² + 2ab + b²

Γιατί ισχύει ο τύπος (a+b)² = a² + 2ab + b²;

Ένας από τους πιο γνωστούς τύπους της άλγεβρας είναι ο τύπος του τετραγώνου αθροίσματος:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

Αν και χρησιμοποιείται πολύ συχνά στην άλγεβρα, ο τύπος αυτός έχει μια πολύ όμορφη γεωμετρική ερμηνεία που τον κάνει απολύτως κατανοητό.

1. Το νόημα του (a+b)²

Το (a+b)² μπορεί να ερμηνευτεί γεωμετρικά ως το εμβαδόν ενός τετραγώνου που έχει πλευρά μήκους a+b.

Εμβαδόν = (a+b)²

2. Διαχωρισμός του τετραγώνου

Αν χωρίσουμε το τετράγωνο αυτό με γραμμές μήκους a και b, τότε το σχήμα χωρίζεται σε τέσσερα μικρότερα μέρη.

Τα εμβαδά των τεσσάρων περιοχών είναι:

• ένα τετράγωνο με εμβαδόν a²
• ένα τετράγωνο με εμβαδόν b²
• δύο ορθογώνια με εμβαδόν ab το καθένα

3. Υπολογισμός των εμβαδών

Από τον υπολογισμό των επιμέρους εμβαδών έχουμε:

• a × a = a²
• b × b = b²
• a × b = ab

Υπάρχουν όμως δύο ορθογώνια με εμβαδόν ab, επομένως:

ab + ab = 2ab

4. Συνολικό εμβαδόν

Το συνολικό εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου προκύπτει από το άθροισμα των τεσσάρων περιοχών:

a² + 2ab + b²

Επειδή το εμβαδόν του τετραγώνου είναι επίσης ίσο με (a+b)², καταλήγουμε στο αποτέλεσμα:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

Γιατί είναι σημαντικός αυτός ο τύπος;

Ο τύπος αυτός χρησιμοποιείται συνεχώς στα μαθηματικά γιατί:

• απλοποιεί αλγεβρικές παραστάσεις
• χρησιμοποιείται στην ανάπτυξη πολυωνύμων
• εμφανίζεται συχνά σε παραγοντοποιήσεις
• αποτελεί βασικό εργαλείο στην άλγεβρα και στον λογισμό

Μια όμορφη μαθηματική ιδέα

Η γεωμετρική αυτή εικόνα δείχνει ότι ένας αλγεβρικός τύπος δεν είναι απλώς μια συμβολική πράξη. Στην πραγματικότητα προκύπτει φυσικά από τη διάσπαση ενός τετραγώνου πλευράς (a+b) στα επιμέρους εμβαδά του.