Σύντομα ανακαλύπτεις ότι κάθε πρωί, όταν ξυπνάς, ο αριθμός των φασολιών διπλασιάζεται.
Αποφασίζεις να το εκμεταλλευτείς τρώγοντας 5 φασόλια κάθε πρωί με το πρωινό σου.
Μετά το πρωινό της 7ης ημέρας από τότε που αντάλλαξες την αγελάδα, διαπιστώνεις ότι σου απομένουν 1029 φασόλια.
Ερώτημα:
Πόσα φασόλια σου είχε δώσει αρχικά ο μυστηριώδης άνδρας;
1 σχόλιο:
(1) Αντιστροφή της διαδικασίας (Από το τέλος προς την αρχή)
ΑπάντησηΔιαγραφήΚάθε μέρα κανονικά γίνεται:
• διπλασιασμός
• μετά τρως 5
Άρα προς τα πίσω:
• πρώτα προσθέτεις 5
• μετά διαιρείς με 2
Υπολογισμός προς τα πίσω
Ξεκινάς από 1029:
• Ημέρα 7η πριν το πρωινό: (1.029+5)/2=1.034/2=517
• Ημέρα 6η: (517+5)/2=522/2=261
• Ημέρα 5η: (261+5)/2=266/2=133
• Ημέρα 4η: (133+5)/2=138/2=69
• Ημέρα 3η: (69+5)/2=74/2=37
• Ημέρα 2η: (37+5)/2=42/2=21
• Ημέρα 1η: (21+5)/2=26/2=13
Επομένως αρχικά ο μυστηριώδης άνδρας σου έδωσε 13 φασόλια εσπρέσο καλυμμένα με σοκολάτα.
Σχόλιο:
Αυτή η μέθοδος είναι ακριβώς στο ίδιο «πνεύμα» με το πρόβλημα με τη πώληση των αυγών στην αγορά, όρα εδώ:
https://www.eisatopon.gr/2026/05/blog-post_6.html?sc=1778075353806#c3813819112414796064
απλώς αντί για «μισά και μισό», έχεις «διπλασιασμό και -5», οπότε η αντίστροφη πράξη είναι «+5 και διαίρεση με 2».
(2) Λύση από την αρχή προς το τέλος
Αν έχεις α φασόλια το πρωί πριν φας, τότε:
• Διπλασιάζονται: 2α
• Τρως 5: και μένουν υπόλοιπα (2α−5)
Άρα:
α(επόμενης)=(2α−5)
Το πρόβλημα είναι το −5, γιατί χαλάει τον καθαρό διπλασιασμό.
Το βασικό τέχνασμα (όπως στα αυγά)
Θέλουμε να «διορθώσουμε» την ποσότητα ώστε μετά τον διπλασιασμό και το −5 να ισοδυναμεί με καθαρό διπλασιασμό
Δηλαδή ψάχνουμε έναν αριθμό κ ώστε:
2α−5+κ=2(α+κ) ===2α−5+κ=2α+2κ === κ-5-2κ=2α-2α === -5-κ=0 === κ= -5 (1)
Το ορίζουμε ως:
β=α−5 (2)
Τι πετύχαμε
Τώρα η διαδικασία γίνεται:
β(n+1)=2βn
Δηλαδή απλός διπλασιασμός κάθε μέρα.
Πάμε από την αρχή προς το τέλος
Αν ξεκινάς με α(0), τότε:
β(0)=a(0)−5
Μετά από 7 ημέρες:
β(7)=2^7*(α(0)−5) (3)
Εξ ορισμού γνωρίζουμε ότι α(7)=1.029 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι’ έχουμε:
β(7)=2^7(α(0)−5) === β(7)=1.029-7 === β(7)=1.024 (5)
Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε:
β(7)=2^7*(α(0)−5) === 1.024=2^7*(α(0)-5) === 1.024=128*(α(0)-5) === (α(0)-5=1.024/128 === (α(0)-5=8 === (α(0)=8+5 === (α(0)=13 (6)
Επομένως αρχικά ο μυστηριώδης άνδρας σου έδωσε 13 φασόλια εσπρέσο καλυμμένα με σοκολάτα.